Giải pháp Phát triển tư duy học sinh khi giảng dạy Chuyên đề phương pháp thể tích trong hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 2 BẢO THẮNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN
TÊN ĐỀ TÀI
 PHÁT TRIỂN TƯ DUY HỌC SINH KHI GIẢNG DẠY 
CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP THỂ TÍCH 
TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Người thực hiện: Nguyễn Văn Hiển
Năm học: 2013 – 2014
A. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Môn hình học không là môn học đòi hỏi sự tư duy, tưởng tượng cao. Vì vậy nếu tạo được sự đam mê, hứng thú học tập cho học sinh khi nghiên cứu phần phương pháp thể tích sẽ tạo điều kiện rất tốt cho học sinh phát triển tư duy, bao gồm: phân tích, tổng hợp, tưởng tượng, quy lạ về quen.
Tính thể tích của khối đa diện là dạng toán có trong chương trình lớp 12, trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi. Vì vậy bất kỳ giáo viên nào cũng cần trang bị cho mình về kiến thức, phương pháp để giảng dạy, trong đó việc lựa chọn hệ thống bài tập, phân dạng các bài tập đóng vai trò quyết định tới chất lượng giảng dạy.
Đối với bản thân tôi và một số giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi giảng dạy chuyên đề phương pháp thể tích trong hình học không gian, do đó trong năm học vừa qua tôi đã cố gắng biên soạn đề tài “ Phát triển tư duy của học sinh qua giảng dạy chuyên đề phương pháp thể tích trong hình học không gian” và đã vận dụng trong dạy học chính khóa khôi 12, dạy ôn thi đại học và ông thi học sinh giỏi.
Đề tài đã lựa chọn các bài tập cơ bản, được sắp xếp liên quan chặt chẽ theo thứ tự từ dễ đến khó, các bài tập được chia ra làm 3 dạng toán cơ bản là:
1) Quy bài toán lập tỉ số thể tích trong hình học không gian về bài toán lập tỉ số diện tích trong hình học phẳng.
2) Hình chóp có chung góc tam diện thì tỉ số thể tích là tích tỉ số độ dài 3 cạnh.
3) Phân chia một khối đa diện thành các khối chóp hoặc bổ sung một số khối chóp để tính thể tích của khối đa diện phức tạp.
Hy vọng đề tài này là tài liệu dạy học cho một số thầy cô dạy bộ môn toán ở những trường THPT ở các huyện mà học sinh có học lực tương tự như trường THPT số 2 Bảo Thắng. 
B. NỘI DUNG
1) Cơ sở lí luận
* Để tính thể tích hình chóp cần tìm được độ dài đường cao của nó. Muốn tính được độ dài này, phải xác định rõ vị trí chân của đường cao trên đáy, chọn một tam giác thích hợp chứa đường cao đó, dùng các hệ thức lượng trong tam giác để tính độ dài đường cao. Trong các trường hợp sau đây có thể xác định được chân đường cao của hình chóp tương đối dễ dàng. 
a) Hình chóp có các cạnh bên nghiêng đều trên đáy là hình chóp có các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau. Với loại hình chóp này ta có kết quả sau:
Với hình chóp SA1A2An , các điều kiện sau đây là tương đương:
1) Hình chóp có các cạnh bên nghiêng đều trên đáy.
2) Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
3) Đáy A1A2An là đa giác nội tiếp được và chân đường cao của hình chóp là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.
	b) Hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy là hình chóp có các mặt bên lập với đáy các góc bằng nhau. Tương tự như trên ta có kết quả sau:
Với hình chóp SA1A2An , các điều kiện sau đây là tương đương:
1) Hình chóp có các mặt bên nghiêng đều trên đáy.
	2) Hình chóp có đường cao h của các mặt bên ( xuất phát từ đỉnh S của hình chóp ) bằng nhau.
	3) Đáy A1A2An là đa giác ngoại tiếp được một đường tròn và hình chiếu của đỉnh là tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy.
 * Công thức tính thể tích khối chóp:
 trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao của khối chóp.
* Công thức tính thể tích của khối lăng trụ:
 trong đó B là diện tích đáy, h là chiều cao của lăng trụ.
2) Thực trạng
Môn hình học không gian là một môn học trừu tượng, gây nhiều khó khăn cho học sinh khi học tập.
Đây là môn hoc gây không ít khó khăn cho giáo viên khi giảng dạy, đặc biệt là việc chọn lựa hệ thống bài tập cho phù hợp với năng lực nhận thức của học sinh và phải đảm bảo tính lôgic (các bài toán được bố trí có liên quan mật thiết và theo trình tự từ dễ đến khó).
Phương pháp thể tích hiện nay là một phần kiến thức rất quan trọng trong ôn thi tốt nghiệp, ôn thi đại học và trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi.
3) Phân chia bài toán tỉ số thể tích thành 3 dạng thường gặp và phương pháp giải quyết cho từng dạng 
I. MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC PHẲNG VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Nhiều khi việc giải quyết các bài toán trong phẳng khó khăn ta có thể xem xét bài toán đó trong phẳng để có thể tìm ra hướng giả quyết và ngược lại khi giải quyết các bài toán trong phẳng ta cũng có thể khái quát bài toán đó xem chúng còn đúng trong không gian hay không. Qua đó rèn luyện tốt tư duy cụ thể hóa và khái quát hóa. 
Bài 1. Cho tam giác ABC có trọng tâm G, chứng minh . Từ việc giải quyết bài toán ta có thể khái quát bài toán trong không gian như sau:
Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Chứng minh rằng: 
G
H’
H
C
A
B
Lời giải:
+) Ta có: 
G1
I
G
G2
C
D
M
B
A
Tương tự có: 
Vậy .
+) Gọi G1, G2 là trọng tâm BCD và ABD, M là
trung điểm của BD, kẻ G1I // AM
Trong tam giác AMC ta có CG2 cắt AG1 tại G
Ta có: 
Do đó 2 đường trung tuyến bất kỳ cắt nhau tại
một điểm nằm ở ¼ mỗi đường kể từ đáy
 4 đường trung tuyến đồng quy tại điểm G, Điểm
G chia đường trung tuyến làm 4 phần.
Ta có:
Tương tự ta có: 
Vậy: .
Bài 2
Cho trên cạnh AB, AC ta lấy điểm M, N bất kỳ. CMR 
Cho tứ diện SABC, trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’. CMR:
C
N
H
H’
A
B
M
Lời giải: 
Gọi H, H’ tương ứng là hình chiếu của B, M xuống AC
Ta có: 
H
H’
S
A’
A
C
B
B’
C’
b) Gọi H, H’ tương ứng là hình chiếu của A, A’ trên mặt (SBC)
Bài 3
Cho , M là điểm bất kỳ trong tam giác. các đường thẳng AM, BM, CM cắt các cạnh của tam giác tại A’, B’, C’. CMR:
b) Cho tứ diện ABCD, M là điểm bất kỳ trong tứ diện. các đường thẳng AM, BM, CM, DM cắt các mặt của tứ diện tại A’, B’, C’, D’. CMR:
B’
C
M
A’
B
A
C’
Lời giải
Ta có:
b) 
D’
C’
B’
M
A’
C
D
B
A
Ta có:
Hay 
Luyện tập
1) Cho điểm M tùy ý nằm trong khối tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi d1, d2, d3, d4, là khoảng cách từ M đến 4 mặt của tứ diện. Tính tổng khoảng cách T = d1 + d2 + d3 + d4.
Đs: 
2) Cho tứ diện ABCD, gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các đỉnh A, B, C, D đến các mặt đối diện. Giả sử M là một điểm tùy ý nằm trong tứ diện đó. Gọi x, y, z, t là khoảng cách từ M tới các mặt phẳng (BCD), (ACD), (ABD), (ABC). CMR:
3) Trên đáy ABC của tứ diện OABC ta lấy một điểm M, các đường thẳng song song với các cạnh OA, OB, OC đi qua M cắt các mặt (OBC), (OCA), (OAB) lần lượt tại A1, B1, C1. CMR: 
4) Cho tứ diện ABCD và M là điểm nằm trong tứ diện đó. Các mặt phẳng (ABM), (BCM), (CAM) cắt các cạnh CD, AD, BD lần lượt tại A1, B1, C1. DM cắt mặt đối diện tại D1 .CMR:
5) Trong góc tam diện Oxyz cho điểm M. Mặt phẳng (P) qua M cắt các cạnh của góc tam diện tại A, B, C. CMR:
 có giá trị không đổi
6) Cho điểm M nằm trong tứ diện ABCD, D1 là giao điểm của DM với mặt đối diện. CMR:
II. SỬ DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHÓP TAM GIÁC
 Công thức tỉ số thể tích :
Cho hình chóp S.ABC,,
 ta có: 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, ,SA vuông góc với đáy ABC , 
	a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
	b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α) qua AG và song song 
 với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Lời giải: 
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
a)Ta có: 
 và + 
Vậy: 
b) Gọi I là trung điểm BC.
 G là trọng tâm,ta có : 
 // BC MN// BC 
 b) Tính thể tích của khối chóp S.AMN
Gọi I là trung điểm BC. Vì G là trọng tâm,ta có : 
 // BC MN// BC .Vậy: 
 Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
 Chứng minh 
Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Lời giải: 
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Ta có: 
b) Chứng minh 
Ta có & Suy ra:nên AB'SC .Tương tự AD'SC. Vậy SC (AB'D')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
• Tính : Ta có: 
• Ta có: vuông cân nên , 
 Từ
Bài 3: Cho khối chóp tứ giác đều SABCD. Một mặt phẳng (α) qua A, B và trung điểm M của SC . Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó
Lời giải: 
 Kẻ MN // CD (N thì hình thang ABMN là thiết diện 
của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).
 + 
Mà VSABMN = VSANB + VSBMN = . 
Suy ra VABMN.ABCD =. Do đó : 
Nhận xét: 
• Học sinh thường sai lầm áp dụng công thức tỉ số thể tích hai tứ diên cho tỉ số thể tích 2 chóp tứ giác ?
• Học sinh không biết cắt chóp tứ giác thành 2 tứ diện để áp dụng công thức tỉ số thể tích 2 tứ diện ?
Luyện tập 
Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh ,đường cao SA = a.Mặt phẳng qua A và vuông góc với SB tại H và cắt SC tại K. Tính thể tích hình chóp SAHK. Đs: 
Bài 2: Cho tứ diên ABCD. Gọi B' và C' lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính tỉ số thể tích của khối tứ diện AB'C'D và khối tứ diên ABCD. 
 Đs: 
Bài 3: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành và lấy M trên SA sao cho Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành 2 phần có thể tích bằng nhau. Đs: 
Bài 4: 
Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a ,SA = 2a và Sa vuông góc với mp(ABC) .Gọi M,N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB,SC .
Tính thể tích khối chóp A.BCMN. 
 Đs: 
C’
B’
A’
C
B
A
III. PHÂN CHIA CÁC KHỐI ĐA DIỆN
Lý thuyết: 
1) Cho khối lăng trụ tam giác, phân chia 
khối lăng trụ tam giác thành 3 khối chóp tam giác
 thì thể tích của 3 khối chóp tam giác đó bằng nhau.
Chứng minh
Gọi V là thể tích khối lăng trụ, ta có
 ( cùng đáy, cùng chiều cao với lăng trụ)
Tương tự: Đpcm.
2) Để tính thể tích của những đa diện có hình dạng phức tạp ta thường phải dùng một trong 2 cách sau:
a) Bổ sung vào đó 1 số tứ diện để được một đa diện có thể tích tính được. Hiệu số thể tích đó và tổng thể tích các tứ diện bổ sung là thể tích cần tìm.
b) Chia khối cần tính thể tích thành các khối đơn giản, tính thể tích từng khối rồi cộng lại.
Bài 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. 
 Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.
Lời giải
Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ 
và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’.
 +Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ 
có diện tích đáy và chiều cao bằng nhau nên có
 cùng thể tích.
 Khối CB’D’C’ có 
+Khối lập phương có thể tích: 
Bài 2. Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
E là trung điểm cạnh AC, mp(A’C’E) 
cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’C’FE. 
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:Gọi I là trung điểm AB,
Ta có: Lăng trụ được chia thành 3 khối chóp có thể 
tích bằng nhau nên thể tích của khối chóp cần tính là:
b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ 
và CFA’C’.
+ Tính thể tích khối A’CEF:
 =
Vậy .
Bài 3
Cho lăng trụ ABCA’B’C’ đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = A’B = A’C = a. Tính thể tích khối chóp A’BCC’.
Lời giải
Lưu ý răng hình chóp có cạnh bên bằng nhau thì hình chiếp của đỉnh là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy
Đề tính thể tích của khối chóp ta tính thể tích khối lăng trụ.
O
A
C
A’
C’
B’
B
Gọi O là tâm của tam giác đều ABC thì O là hình chiếu 
của A’ trên mặt ABC.
Ta có:
Thể tích lăng trụ: 
Bài 4 Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Các điểm . Mặt phẳng (AMN) chia hình lập phương thành 2 phần. Tính thể tích mỗi phần.
A’
Q
K
I
C’
P
M
D’
B’
N
B
A
D
C
Lời giải
P = AM A’B’; Q = AN A’D’
I = PQ C’B’; K = PQ C’D’
Vậy mặt cắt là ngũ giác AMIKN
Đề tính thể tích V của khối đa diện phía bên dưới
(là khối đa diện chứa đỉnh A’) ta sẽ bổ sung vào đó
2 khối tứ diện MPB’I và NKD’Q
Bài 5.
B
O
C
D
A
N
C’
B’
D’
M
A’
S
Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có các cạnh AB = AD = a, AA’ = và góc() = 600 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A’D’ và A’B’. Tìm ?
Lời giải
Ta có 3 mặt phẳng (BDMN), (AA’B’B), (ADD’A’)
cắt nhau theo 3 giao tuyến AA’, BN, DM nên 3 giao tuyến 
đồng quy tại S.
Luyện tập
Bài 1. Cho hình chóp đều SABCD, O là tâm của đáy. là mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng (SAB). Tính tỉ số thể tích của 2 phần được tạo ra khi chia cắt hình chóp.
ĐS: 
Bài 2. Tính tỉ số thể tích hai phần của hình chóp đều SABCD được phân chia bởi mặt phẳng , đi qua các điểm giữa M, N, E của AB, AD, SC.
ĐS: 
Bài 3. Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có các mặt bên nghiêng trên đáy 1 góc . Mặt phẳng qua AC vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia hình chóp thành 2 phần. Tính tỷ số thể tích của 2 phần đó.
ĐS: 
Bài 4. Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy là hình vuông, cạnh SA vuông góc với đáy. Cạnh SC lập với mặt phẳng (SAB) một góc . Mặt phẳng qua A vuông góc với SC chia hình chóp thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích của 2 phần đó.
ĐS: 
C. KẾT LUẬN
Chuyên đề phát triển tư duy học sinh qua việc giảng dạy chuyên đề phương pháp thể tích trong hình học không gian đã được hoàn thiện trong tháng 9 và đã được tôi vận dụng vào giảng dạy trong công tác ôn thi đại học và công tác ôn thi học sinh giỏi và đã thu được một số hiệu quả cụ thể như sau:
Đề tài được sắp xếp các bài toán có liên quan chặt chẽ và cấp độ từ dễ đến khó, các bài toán được chia thành 3 dạng cụ thể do đó đã giúp cho học sinh tiếp cận các bài toán nhanh và chủ động hơn, đã tạo được sự hứng thú của học sinh khi học tập môn hình học không gian nói chung và phần tính thể tích hình học nói riêng.
Đề tài có hệ thống các bài tập vận dụng giúp giáo viên có thể lựa chọn vào giảng dạy cho các đối tượng khác nhau, có những bài tập để giao về nhà cho học sinh.
Đề tài có lợi thế lớn nhất trong công tác ôn luyện thi đại học cho học sinh vì xu hướng thi đại học trong những năm trở lại đây thường nghiêng về bài toán tính thể tích của khối đa diện, hơn nữa hệ thống bài tập được lựa chọn đa số là bài tập cơ bản nên phù hợp với học sinh ôn luyện thi đại học.
Vì điều kiện thời gian hoàn thiện đề tài còn ngắn nên có những vấn đề còn chưa thực sự sâu sắc, đặc biệt là hệ thống các bài tập hay và khó còn chưa nhiều do đó đề tài này còn chưa phát huy hiệu quả trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Tôi hy vọng với sự cố gắng của bản thân và sự đóng góp của đồng nghiệp đề tài này sẽ ngày càng được hoàn thiện hơn.
Bảo Thắng, ngày 14 tháng 04 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Văn Hiển
V. TÀI LIỆU THAM KHẢO
TT
TÊN TÀI LIỆU THAM KHẢO
TÁC GIẢ
1
Sách giáo khoa hình học 12
Trần Văn Hạo
2
Một số phương pháp chọn lọc giải các bài toán sơ cấp
Phan Đức chính
3
Bài tập hình học nâng cao 12
Văn Như Cương