Giải pháp Giúp học sinh yếu kém viết phương trình tiếp tuyến với một đường cong

số góc 
	Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho là 
b. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm có hoành độ x = x (Hoặc : y= y ) 
Ví dụ 1: Cho hàm số y = x4 - 2x2 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x= -2
Giải
	Ta có: y’=4x3- 4x
	Với: x = -2 y = 8 và y’(-2)= - 24
	Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(-2;8) là: 
 	 y = -24( x + 2 ) + 8 hay y = -24x - 40
Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ y = 5
Giải : 
 	Ta có 
	+) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (0;5)
 	y’(0) = -3
	 Do đó phương trình tiếp tuyến là hay y = -3x +5.
	+) Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm .
 	 Do đó phương trình tiếp tuyến là : hay .
	+) Tương tự phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm 
	là : .
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k
Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) có hệ số góc bằng 2	
	 = 2 => 
	Có 2 toạ độ tiếp điểm là 
	Hai phương trình tiếp tuyến: và 
Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến với : biết tiếp tuyến song song với .
Giải:
	 Ta có 
	Có hai phương trình tiếp tuyến 
Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
 Giải:
Cách 1 : Đường thẳng có hệ số góc . Vì tiếp tuyến d cần tìm vuông góc với đường thẳng nên hệ số góc của tiếp tuyến cần tìm là 
	Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến là nghiệm của phương trình 	
	Thay lần lượt vào phương trình tiếp tuyến tổng quát, ta được các tiếp
	tuyến là: và 
Cách 2 : Phương trình tiếp tuyến có dạng d : (*)
d là tiếp tuyến của (C) khi hệ sau có nghiệm
	Thay lần lượt vào phương trình (*), ta được các tiếp tuyến là: 
 và 
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)
Ví dụ 1: Cho hàm số . Viết phương trình tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm 
Giải: 
	Đường thẳng d đi qua điểm A có phương trình 
	Đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C) khi hệ sau có nghiệm
	Thay k lần lượt vào (*), ta được các phương trình tiếp tuyến là: 
 và 
Ví dụ 2: Cho hµm sè . ViÕt pttt cña (C) ®i qua 
Gi¶i:
	 Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua cã d¹ng: 
	 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau:
	 cã nghiÖm.
 	 Suy ra 
	+) Víi x = 0 . Pttt lµ: 
	+) Víi . Pttt lµ: 
	+) Víi x= - . Pttt lµ: y = .
	KÕt luËn: VËy cã ba tiÕp tuyÕn kÎ tõ ®Õn ®Õn thÞ (C).
Ví dụ 3: Cho hµm sè (C). Gäi I lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng tiÖm cËn cña ®å thÞ hµm sè. CMR: kh«ng cã tiÕp tuyÕn nµo ®i qua I.
Gi¶i:
 	 Ta cã tiÖm cËn ®øng x = -1.
 	TiÖm cËn ngang y = 1. Do ®ã to¹ ®é giao ®iÓm cña hai ®­êng tiÖm cËn lµ: 	I(-1; 1).
 	 Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua I(-1; 1) cã d¹ng: y = k(x+ 1) + 1 (d).
 	§­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C ) khi vµ chØ khi hÖ sau cã 	nghiÖm:
	(v« nghiÖm) => (®iÒu ph¶i chøng minh).
 Ví dụ 4: Cho hµm sè (C). T×m c¸c ®iÓm trªn trôc tung mµ tõ ®ã kÎ ®­îc 2 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C).
Gi¶i:
	ViÕt l¹i y d­íi d¹ng (C).
	 Gäi , Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng qua B cã d¹ng: y = kx + b (d).
 	§­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) khi vµ chØ khi hÖ sau cã 	nghiÖm:
 	(I) 
	 Do ®ã (I) 
 	HÖ cã nghiÖm khi vµ chØ khi (1) cã nghiÖm tháa m·n (2)
 	 Yªu cÇu bµi to¸n tho¶ m·n khi ph­¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm kh¸c b + 3
 	VËy, c¸c ®iÓm trªn trôc tung cã tung ®é bÐ h¬n -1 vµ kh¸c -2 th× tõ ®ã kÎ 	®­îc 2 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C).
2.2 Thực trạng của vấn đề: 
Qua điều tra và thực tiễn giảng dạy cho thấy đa phần học sinh không cảm thấy khó khăn trong việc khảo sát hàm số. Tuy nhiên học sinh gặp phải khó khăn khi làm bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số, thường mắc phải những khó khăn sau: 
- Chưa có những phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài
- Nhầm giữa hai khái niệm tiếp tuyến đi qua một điểm và tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị của hàm số 
- Trong quá trình giải học sinh còn mắc phải sai lầm khi tính toán, biến đổitrong bước trung gian. Lập luận không chặt chẽ; đánh tráo đề bài
Ví dụ: Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;3)
Giải: +) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(0;3), phương trình của d có dạng 
	+) d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm x
Thay k ở (2) vào (1) ta được 
Bây giờ ở phương trình (* ) học sinh không chú ý: Từ phương trình (*) ta có
 mà lại viết 
Vậy phương trình tiếp tuyến là: 
Khi đó lời giải bị sai ngay từ bước trung gian nên thiếu một phương trình tiếp tuyến. 
Như vậy lời giải đúng là
Từ phương trình (*) ta có 
Vậy phương trình tiếp tuyến là: và 
Có những học sinh lại đánh tráo đầu bài đi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0;3)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A có dạng 
Theo đầu bài ta có 
 = 0
Vậy phương trình tiếp tuyến là: 
Hoặc có học sinh lại bỏ sót trường hợp trong quá trình giải
2.3 Giải quyết vấn đề
Việc đưa các dạng bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số và phương pháp giải cụ thể cho từng dạng bài, vận dụng phương pháp giải bài tập toán đề hướn dẫn các em làm bài tập phần học này là rất cần thiết. Bởi khi đó các em không còn phải lúng túng trong việc lựa chọn cách giải mà sẽ có được cách giải chính xác khi đã xác định được yêu cầu về “Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số” ở dạng nào. Chính vì vậy mà hai năm gần đây trong phần dạy bài tập về tiếp tuyến của đồ thị hàm số tôi đã cố gắng giúp học sinh biết cách nhận dạng bài tập; chỉ ra phương pháp giải từng dạng. Từ đó các em tự tin và có hứng thú học tập. 
 2.3.1. Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm của thuộc đồ thị 
a. Bài toán 1: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm 
* Phương pháp giải: 
 +) Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm (đã nêu ở trên) thì tiếp tuyến tại một điểm có hệ số góc là 
 +) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tai điểm có dạng: hay 
Nhận xét: 
 +) Đối với bài toán này học sinh chỉ cần tính được chính xác , và rút gọn chính xác sẽ được lời giải đúng của bài toán
 +) Đồ thị chỉ có 1 phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 1: Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm 
Giải
Ta có: y’=3.x2-12x +9 
Với: x = 2 ; y = 2 và y’(2)= -3
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là: 
 hay 
Ví dụ 2: Cho hàm số (C): y = x+1 - . Hãy viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(0;3)
Giải
 Ta có: y’= 1+ nên y’(0) = 5 
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(0;3) là: 
 y = 5(x-0) + 3 hay y = 5x + 3
Ví dụ 3: Cho hàm số y = 2 + 3x – x3 có đồ thị (C). Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị.
Giải: 
, 
 và 
Toạ độ điểm uốn là (0;2) , 
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là:
 hay 
b. Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm có hoành độ x = x (Hoặc : y= y ) 
 *. Phương pháp giải: 
-Với: x =x y=f(x) (Bài toán đưa về dạng trên)
- Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm có hoành độ 
x = xcó dạng:
y=f’(x)( x-x) + y
Nhận xét: Áp dụng tương tự với tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có tung độ: y= y=f(x) x=? ( bài toán đưa về dạng tiếp tuyến tại một điểm )
Ví dụ 1: Cho hàm số 
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ -1.
Giải: Hoành độ tiếp điểm , nên tung độ tiếp điểm 
Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (-1;1) là:
 hay 
Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ –7.
Giải: 
Tung độ tiếp điểm nên hoành độ tiếp điểm 
.Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại (2;-7) là: hay 
*) Bài toán mở rộng:
 Ví dụ 1: Cho hµm sè: (C).T×m c¸c ®iÓm thuéc (C) mµ qua ®ã kÎ ®­îc mét vµ chØ mét tiÕp tuyÕn ®Õn (C).
Gi¶i: 
 Gäi .
 Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (pttt) cña (C) t¹i M0 cã d¹ng: 
 (d)
 §­êng th¼ng (d) lµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M0 khi vµ chØ khi hÖ sau cã nghiÖm: 
 Suy ra 
 §iÓm M0 tho¶ m·n yªu cÇu bµi ra khi vµ chØ khi:
 .
 VËy, trªn (C) tån t¹i duy nhÊt ®iÓm M0( 1; 0) mµ qua ®ã kÎ ®­îc ®óng mét vµ chØ mét tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ (C).
Ví dụ 2: Cho hµm sè: (C). TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (C), trôc Oy vµ tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 3.
Gi¶i:
 Ta cã: .
 Pttt cña (C) t¹i ®iÓm lµ: 
 DiÖn tÝch h×nh ph¼ng cÇn tÝnh lµ: 
 = (- = (®vdt).
 2.3.2.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết hệ số góc cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và một số . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) có hệ số góc k
* Phương pháp giải: 
 i) Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm: 
 +) Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C) tại điểm có hoành độ 
 là nghiệm của phương trình 
 +) Giải phương trình , suy ra nghiệm 
 +) Phương trình tiếp tuyến tại là: 
 ii) Cách 2: Phương pháp điều kiện kép
Xét đường thẳng có hệ số góc k có phương trình (m là ẩn) tiếp xúc với đồ thị (C): . Khi đó ta có phương trình có nghiệm kép. Áp dụng điều kiện để phương trình có nghiệm kép, suy ra được m. Từ đó suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm
Nhận xét: Vì điều kiện và tiếp xúc nhau là hệ điều kiện có nghiệm kép chứ không phải điều kiện phương trình có nghiệm kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các dạng hàm số mà phương trình tương giao có thể biến đổi tương đương về một phương trình bậc 2 ( khi đó điều kiện để có nghiệm kép là )
Chú ý: Ta có các dạng biểu diễn của hệ số góc k như sau:
	- Dạng trực tiếp: 
	- Tiếp tuyến tạo với chiều dương 0x góc , khi đó hệ số góc 
	- Tiếp tuyến song song với đường thẳng , khi đó hệ số góc k = a
 - Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng , khi đó 	- Tiếp tuyến tạo với đường thẳng một góc khi đó 
 .
Ví dụ 1:
 Cho hµm sè (C). ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) biÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = -3.
Gi¶i:
 Ta cã: 
 Do hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = - 3 nªn: 
Víi . Pttt cÇn t×m lµ: 
VÝ dô 2: 
 ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè (C). BiÕt tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®­êng th¼ng y = 9x + 2009.
Gi¶i:
 Ta cã .
 Do tiÕp tuyÕn ®ã song song víi ®­êng th¼ng y = 9x + 2009 nªn tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc k = 9 .
	 .
+) Víi Pttt cña (C) t¹i x = - 1 lµ: 
+) Víi . Pttt cña (C) t¹i x = 3 lµ: 
 VËy, cã 2 tiÕp tuyÕn cña (C) song song víi ®­êng th¼ng y = 9x + 2009 lµ:
 y = 9x + 6 vµ y = 9x - 26.
Ví dụ 3: Cho hµm sè (C). ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng .
Gi¶i: 
 Ta cã . Do tiÕp tuyÕn cña (C) biÕt tiÕp tuyÕn ®ã vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng nªn hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn k = 9.
 Do ®ã 
+) Víi x = 2 . Pttt t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = 2 lµ: 
+) Víi . Pttt t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = - 2 lµ: .
 VËy, cã hai tiÕp tuyÕn cñ¶ (C) vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng lµ: 
 y =9x - 14 vµ y = 9x + 18.
*) Bài toán mở rộng:
 Ví dụ 1:
 Cho hµm sè (C). Chøng minh r»ng trong sè c¸c tiÕp tuyÕn cña (C) th× tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt.
Gi¶i:
 Ta cã hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm bÊt k× cña ®å thÞ (C) lµ:
 k = 
 ĐiÓm uèn U(-1; 14).
 HÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn t¹i ®iÓm uèn lµ: k1 = -12.
 B¶ng biÕn thiªn cña hµm sè 
x
 -1 
y’’
 - 0 +
y’
 -12
 Tõ b¶ng biÕn thiªn suy ra . DÊu “ = ” x¶y ra khi vµ chØ khi x = -1 (hoµnh ®é ®iÓm uèn) (§iÒu ph¶i chøng minh)
Ví dụ 2:
 Cho hµm sè: . T×m ®iÓm x0 ®Ó víi mäi , tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè (C) t¹i ®iÓm x0 song song víi mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh. T×m hÖ sè gãc cña ®­êng th¼ng ®ã.
Gi¶i:
 Ta cã: .
 Yªu cÇu bµi to¸n lµ t×m x0 ®Ó y’(x0) = k ( h»ng sè) 
 Ta cã : (3) 
+) Víi x0 = 0 suy ra k = -2 (tho¶ m·n).
+) Víi k = 0 (v« nghiÖm)
 VËy, x0 = 0 vµ k = -2 th× th× tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i x0 song song víi mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh.
 2.3.3.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Bài toán: Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C) và điểm cho trước. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) qua A đến đồ thị (C)
* Phương pháp giải: 
i) Cách 1: Thực hiện theo các bước 
	- Đường thẳng d đi qua điểm có phương trình:
- d tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm
- Kết luận về tiếp tuyến d.
ii) Cách 2: Thực hiện theo các bước
- Giả sử tiếp điểm là khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng 
d: 
	- Điểm , ta được 
	- Kết luận về tiếp tuyến d
Chú ý: Số nghiệm phân biệt ở phương trình (1), (2) bằng số tiếp tuyến kẻ từA đến đồ thị (C)
Ví dụ 1: 
Cho hàm số (C): y = x3-x2 . 
 Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0)
Giải
 Ta có: y’= x2-2x
 -Gọi đường thẳng qua A(3;0) có hệ số góc k→phương trình có dạng:
y=k.(x- 3)+0
 -Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì:
 có nghiệm 
 -Thay (2) vào (1)ta có →x=0 và x= 3 
 -Với x=0 thay vào(2)→k = 0. Phương trình tiếp tuyến: y = 0 
 -Với x= 3 thay vào(2)→ k= 3. Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x-3) = 3x – 9 
 -Vậy có hai phương trình tiếp tuyến đi qua A(3;0) là: 
 y = 0 
 và y = 3x – 9
Ví dụ 2:
Cho hàm số (C): y = Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) ,biết tiếp tuyến cắt trục hoành,trục tung lần lượt tại A và B sao cho tam giác AOB cân tại O
Giải
Phân tích: tiếp tuyến (d)cần tìm thỏa mãn *(d)là tiếp tuyến của ( C)
 *(d)cắt ox tại A và cắt oy tại B
 *OA=OB
Cách 1: Vì (d) cắt ox tại A nên A(a;0)
 (d) cắt oy tại B nên B(0;b) . điều kiện: a0 và b0
Để tam giác AOB cân tại O thì OA=OB
 a = b hoặc a = -b
*Với a = b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng:
 y = - x + a
Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì hệ phương trình:
 có nghiệm 
Từ (2) ta có: x = -2 hoặc x = -1
-Với x = -2 thay vào (1) ta có: a = -2 thay vào phương trình tiếp tuyến (d) phương trình của d là
 y = -x - 2
-Với x = -1 thay vào (1) ta có: a = 0 (loại)
*Với a = -b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng:
 y = x - a
Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì: có nghiệm 
Từ (2) suy ra hệ vô nghiệm
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -x - 2
Cách 2: 
Vì tam giác AOB cân tại O nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 450 hoặc 1350 và không đi qua gốc tọa độ O
-Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 450 ta có: phương trình vô nghiệm
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 1350 ta có: = -1 hoặc = -2
Với = -1.Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+1) +1 hay y= -x (loại vì đi qua gốc tọa độ O)
Với= -2. Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+2) hay y= -x - 2
Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y= -x - 2
NHẬN XÉT: - Với cách 1: học sinh thường thiếu điều kiện của a và b để A BO là tam giác
 -Với cách 2: đơn giản hơn xong học sinh hay bỏ qua điều kiện tiếp tuyến của đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ O
2.4. Hiệu quả của SKKN 
2.4.1 Khảo sát thực tế: 
 Trước khi thực hiện SKKN , năm học 2013 - 2014 tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh lớp 11A1 ; 11A4 ; thông qua kiểm tra viết gồm 3 bài toán viết phương trình tiếp tuyến (Đề số 1 phụ lục trang 26 )
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Kết quả như sau:
Không có học sinh đạt điểm khá, giỏi ở lớp 11A4 ; điểm trung bình chưa đạt 40%, còn lại là yếu, kém. Cụ thể:
Lớp
TS
Giỏi
Khá
T bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A1
35
3
8.6
5
14.3
20
51.1
7
20
0
0
11A4
32
0
0
0
0
12
37.5
16
50
4
12.5
Tổng
67
3
4.5
5
7.5
32
47.8
23
34.3
4
5.9
Chất lượng bài làm của học sinh lớp 11A4 thấp, kĩ năng giải toán yếu.
 2.4.2 Kết quả sau khi thực hiện SKKN: 
 Sau khi thực hiện đề tài tại lớp 11A1; 11A4 của trường THPT Số 2 Bảo Thắng năm học 2013 – 2014 tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông qua kiểm tra viết gồm 4 bài: (Đề số 2 phụ lục trang 30)
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm
Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước
Bài toán 4: Ứng dụng 
Kết quả như sau:
Đã có học sinh đạt điểm khá, giỏi tuy còn ít. Điểm yếu, kém đã giảm.
. Cụ thể:
Lớp
TS
Giỏi
Khá
T bình
Yếu
Kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
11A1
35
12
34.3
16
45.7
7
20
0
0
0
0
11A4
32
2
6.3
3
9.4
20
62.5
5
15.6
2
6.2
Tổng
67
14
20.9
19
28.4
27
40.3
5
7.5
2
2.9
 Như vậy, chất lượng bài kiểm tra đã được tăng lên rõ rệt.
Một số học sinh khá, giỏi còn biết vận dụng vào các bài toán ở mức độ khó hơn.
Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung các bài giảng liên quan đến SKKN và có sự tham góp của đồng nghiệp, vận dụng SKKN vào giảng dạy đã thu được một số kết quả nhất định sau: 
 1. Học sinh yếu đã hiểu và biết vận dụng tốt hơn phương pháp viết phương trình tiếp tuyến
 2. Học sinh trung bình trở lên nắm vững được phương pháp, biết vận dụng thành thạo và linh hoạt hơn 
Chất lượng bài giải và kĩ năng giải toán tốt hơn so với những năm trước đây.
3. Kết luận:
 - Trong giai đoạn giáo dục hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là một nhiệm vụ hết sức quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội một nguồn nhân lực thực thụ. Bản thân tôi mong muốn làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập của học sinh nên tôi luôn cố gắng tìm tòi và ứng dụng đổi mới vào việc giảng dạy trên cơ sở kinh nghiệm qua nhiều năm đứng lớp .
 - Loại toán viết phương trình tiếp tuyến trong các tài liệu tham khảo thường được đề cập một cách sơ sài và nhỏ lẻ, nên tôi đã cố gắng tập hợp, giải quyết các bài toán phương trình tiếp tuyến một cách đơn giản để học sinh dễ hiểu . Qua ứng dụng SKKN này giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy đối với bài toán viết phương trình tiếp tuyến học sinh đã thông hiểu hơn rất nhiều.
 - Như vậy, với SKKN này dù ít hay nhiều cũng giúp ích cho cho công việc giảng dạy của tôi, góp một phần nhỏ giúp học sinh hiểu kĩ hơn và vận dụng tốt hơn vào giải toán, nâng cao chất lượng học môn toán hơn trước. Đối với bản thân tôi, là một giáo viên đứng lớp viết SKKN này cũng giúp ích rất nhiều trong việc tự học và trau dồi chuyên môn, nghiệp vụ của mình.
 - Mặc dù SKKN tôi viết chỉ tập chung vào một vấn đề rất nhỏ trong chương trình toán lớp 12 nhưng việc áp dụng nó vào giảng dạy có tác dụng rất tốt, thời gian tới tôi sẽ phát triển thêm SKKN của mình áp dụng cho cả những đối tượng là học sinh khá, giỏi với những bài toán nâng cao hơn..
 - Từ quá trình áp dụng SKKN tôi thấy bài học kinh nghiệm được rút ra là khi giảng dạy giáo viên phải giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng và tự nhiên, không nên gò ép, áp đặt, phải đưa ra được phương pháp giải đối với từng loại toán có như vậy học sinh mới hứng thú học tập và yêu thích môn toán.
 *) Những ý kiến đề xuất
Bài toán viết phương trình tiếp tuyến có nhiều dạng mà được đề cập rất ít trong chương trình THPT, hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán này nhất là viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm, viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc cho trước.
 Để giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về phương trình tiếp tuyến đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau tôi xin nêu một số giải pháp đề nghị sau:
 1. Đối với tổ chuyên môn và chuyên môn nhà trường cho phép tôi được áp dụng SKKN với một số lớp tôi không được phân công giảng dạy bằng cách cho học sinh đi học phụ đạo buổi chiều.
2. Tổ chuyên môn thường xuyên đóng góp ý kiến cho SKKN của tôi trong quá trình tôi thực hiện SKKN này.
 	Loại toán viết phương trình tiếp tuyến còn có rất nhiều ứng dụng trong nhiều bài toán kể cả hình học, nhưng trong tài liệu này tôi chỉ trình bày một phần nhỏ. Trong quá trình thực hiện SKKN, tôi đã nhận được những góp ý quý báu của các đồng nghiệp trong tổ toán trường THPT Gia Phù, rất mong nhận thêm những đóng góp quý báu khác từ các đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn.
Phụ lục
Đề số 1
ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT
Môn đại số - Giải tích lớp 11
MA T