Đề tài Rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua một số dạng toán tính số đo góc

 các dạng đã gặp, còn đối với các bài tập có những tình huống có vấn đề học sinh thường lúng túng và khó khăn trong việc giải quyết.
          Kinh nghiệm cho thấy không có phương pháp chung nào để giải toán hình học, mà tùy thuộc vào từng bài cụ thể do sự kết hợp sáng tạo để đi đến một bài giải hay, gọn, đủ ý. Đa số học sinh thường lúng túng, không biết phải chứng minh một bài hình học như thế nào, bắt đầu từ đâu. Khâu quan trọng là khâu vẽ hình rồi chắt lọc lý thuyết và vận dụng vào thực tế để chứng minh.
          Vì vậy, vai trò hướng dẫn để tác động đến việc học tập của học sinh là rất quan trọng mà có khi giáo viên không làm được. Do đó, để dạy tốt, giáo viên cần phải có tâm huyết, đúc rút kinh nghiệm cho riêng mình. Truyền cho học sinh cách quan sát, phát hiện để dự đoán và sáng tạo hợp lý. Thầy cô giáo phải luôn tự học, tự bồi dưỡng để trang bị vốn kiến thức cần thiết.
          Với thực trạng như trên, thiết nghĩ phương pháp dạy học tạo ra các tình huống tích cực, tình huống có vấn đề rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh qua một số dạng toán tính số đo góc qua đó giúp học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề và kiến tạo kiến thức là một nhu cầu cấp thiết.
3.Giải pháp –Biện pháp
1.Cơ sở lý thuyết 
1.1.Nội dung :
Để giải tốt bài toán tính số đo góc thì học sinh tối thiểu phải nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
*Trong tam giác:
+Tổng số đo các góc trong của một tam giác bằng 1800.
+Số đo góc ngoài của tam giác bằng tổng số đo hai góc trong không kề với nó.
*Tam giác cân:
+Định nghĩa: tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau
+Tính chất:
-Hai góc ở đáy của tam giác cân bằng nhau
-Trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao, đường phân giác, đường trung trực.
+Phương pháp chứng minh:
-Phương pháp 1: chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau
-Phương pháp 2: chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau
-Phương pháp 3: chứng minh tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh đồng thời là đường cao hoặc là đường phân giác hoặc là đường trung trực
-Tam giác vuông.
+Định nghĩa: tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
+Tính chất:
-Trong tam giác vuông tổng số đo hai góc nhọn bằng 900
-Trong tam giác vuông bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài mỗi cạnh góc vuông.
+Phương pháp chứng minh.
-Phương pháp 1: chứng minh tam giác có một góc vuông
-Phương pháp 2: chứng minh tam giác có bình phương độ dài một cạnh bằng tổng bình phương độ dài mỗi cạnh còn lại.
- Tam giác vuông cân.
+Định nghĩa: tam giác vuông cân là tam giác cân có một góc vuông.
+Tính chất:
-Tam giác vuông cân có đầy đủ tính chất của tam giác cân, của tam giác vuông.
-Trong tam giác vuông hai góc nhọn bằng nhau và mỗi góc có số đo bằng 450.
+Phương pháp chưng minh.
-Phương pháp 1: chứng minh tam giác cân có một góc vuông.
-Phương pháp 2: chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau và mỗi góc có số đo bằng 450.
- Tam giác đều.
+Định nghĩa: tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
+Tính chất:
- Ba góc trong của tam giác đều bằng nhau và mỗi góc có số đo bằng 600.
-Trong tam giác đều các đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao, đường trung trực trùng nhau.
+Phương pháp chứng minh.
-Phương pháp 1: chứng minh tam giác có ba cạnh bằng nhau
- Phương pháp 2:chứng minh tam giác cân có một góc bằng 600.
-Phương pháp 3: chứng minh tam giác có hai góc bằng 600.
Lí thuyết bổ sung
+Trong tam giác cân biết số đo một góc trong thì tính được số đo các góc còn lại.
+Trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng nửa cạnh huyền.
+Trong tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh có độ dài bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vuông tại đỉnh có trung tuyến đi qua.
+Trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông có độ dài bằng nửa cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vuông ấy có số đo bằng 300, và ngược lại.
+Trong tam giác cân
- Hai trung tuyến ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau
- Hai phân giác ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau
- Hai đương cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau
( sử dụng các kiến thức về hai tam giác bằng nhau dễ dàng chứng minh được các tính chất này).
+Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 300 thì tam giác đó là một nửa của tam giác đều có cạnh là cạnh huyền của tam giác vuông.
+Trong tam giác đường phân giác của hai góc ngoài tại hai đỉnh và đường phân giác góc trong tại đỉnh còn lại cùng đi qua một điểm.
Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Tính số đo các góc thông qua phát hiện tam giác đều:
Những bài toán cho ở dạng này thường không thể hiện ra hướng đi khi các em vận dụng lí thuyết cơ bản và lời giải thông thường nên với những bài toán ra ở dạng này tôi thường xuyên yấu cầu học sinh tuân thủ theo hướng đi
phân tích giả thiết tổng hợp
 quy nạp
+Phân tích thật kỹ và sâu sắc giả thiết bài toán cho
+Tổng hợp, quy nạp các giả thiết phân tích được để tìm ra các mắt xích của một vấn đề mới hướng tới kết luận của bài toán.
 Có thể tim ra lời giải của bài toán
Có thể tìm ra nhu cầu và cách vẽ thêm đường phụ( thường vẽ thêm tam giác đều).
(sau khi vẽ thêm hình phụ nếu cể thể yấu cầu học sinh tiếp tục suy nghĩ nhanh theo quy trên)
Phân tích giả thiết tổng hợp
 quy nạp
từ để học sinh sẽ hình thành được lời giải)
+Đôi khi có những bài toán cơ bản hơn thì học sinh cể thể dùng sơ đồ phân tích đi lần.
Bài toán 1: Tam giác ABC có Â =200,AB = AC, lấy M AB sao cho MA=BC.
Tính góc AMC ?
Nhận xét:
Ta cần tìm góc AMC thuộc DAMC có Â = 200 mà 	.
Ta thấy có sự liên hệ rõ nét giữa góc 200 và góc 600 mặt khác MA = BC.
Từ đây, ta thấy các yếu tố xuất hiện ở trên liên quan đến tam giác đều.
Điều này giúp ta nghĩ đến việc dựng hình phụ là tam giác đều.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC vuông ở A và . Trên tia đối của tia AB lấy điểm H sao cho BH = 2AC. Tính số đo góc BHC.
Ta có hình Vẽ(H2)
(H.2).
Nhận xét: Với bài toán này sau khi phân tích cơ bản các em không tìm ra được lời giải. Song sau khi tiếp cận và làm quen lý thuyết thì đã kích thích các em đặt ra vấn đề có góc 750, góc 150 ( 750 - 150 = 600) liên quan đến điều gì? lập tức có nhiều học sinh nảy ra suy nghĩ đến tam giác đều. Nhưng vấn đề đặt ra là tam giác đều cạnh là đoạn thẳng nào?. Trong mọi trường hợp tôi thường lưu ý các em đến chi tiết vẽ thêm hình phụ thì phải xuất phát từ yếu tố giả thiết trọng tâm.
Vídụ:Trong bài này thì ,=> lấy cạnh tam giác đều là BC.
 Vẽ tam giác BCE đều ( E nằm trên nửa mặt phẳng chứa BC)
 Kế hợp giả thiết: BH = 2BC lấy K là trung điểm của BH
 BK = HK = BC
Tự để học sinh hình thành sự phân tích sâu việc vẽ thêm và tìm ra hướng giải quyết của bài toán.
Giải:	Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ tam giác đều BCE
Vì : 
Nên : Điểm E nằm ở miền trong tam giác HBC
Gọi K là trung điểm của BH
Ta có: 
Xét : ABC và KEB có
BC = EB
AC = KB = BH
Nên : ABC = KEB 	( c - g - c)
Suy ra: ( Hai góc tương ứng)
Xét BEH có
EK là trung tuyến ứng với cạnh BH
KE là đường cao ứng với cạnh BH
Do đó: BEH cân tại E
Mà : 
Nên : và 
Xét HEB và HEC có
HE là cạnh chung
	( CMT)
EB = EC 	( Hai cạnh tam giác đều)
Suy ra: HEB = HEC 	( c - g - c)
Hay : 	( Hai góc tương ứng) Vậy : 
Bài toán 3: Cho DABC cân tại A; . Đường cao AH, các điểm E, F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho góc EBA = góc FBC = 300. Tính góc AEF =?
(H.3).
Hướng giải:
Vẽ DABD đều ( B, D khác phía so với AC ) (H.3).
Tam giác ABC cân tại A , (gt)
=> ABC = ACB = 700 mà FBC = 300 (gt)
=> ABF = 400, BAF = 400 => DAFB cân tại F.
=> AF = BF mặt khác AD = BD, FD chung.
=> DAFD = DBFD(c.c.c) => ADF = BDF = .
Do AH là đường cao của tam giác cân BAC
=> BAE = 200 = FAD = 600 - 400, AB = AD (vìDABD đều) ABE = 300 (gt)
=> DABE = DADF (g.c.g) => AE = AF => DEAF cân tại A mà EAF = 200
=> AEF = .
Nhận xét: Vấn đề suy nghĩ vẽ tam giác đều xuất phát từ đâu?
Phải chăng xuất phát từ giả thiềt 400 = 600 - 200 và mối liên hệ FA = FB được suy ra từ DABF cân tại F.
Với hướng suy nghĩ trên chúng ta có thể giải bài tóan 2 theo các cách sau:
* Vẽ DAFD đều .(F, D khác phía so với AB).
* Vẽ DBFD đều (F, D khác phía so với AB).
Bài toán 4:Cho DABC, A = 800, AB = AC. M là điểm nằm trong tam giác sao cho MBC = 100, MCB =300. Tính: AMB
Nhận xét: 
Xuất phát từ giả thiết AB = AC và liên hệ giữa góc100 với 500 ta có
500 + 100 =600. Từ đó ta nghĩ đến giải pháp là dựng tam giác đều.
Hướng giải: 
H(5) (H6)
Vẽ DBDC đều (A, D cùng phía so với BC) (H.5) hoặc Vẽ DABD đều (D, A khác phía so với BC) (H6)
*(H5)Dễ thấy DBAD = DCAD (c.g.c) và DDAB = DCMB (g.c.g) => BA = BM.
=> DABM cân tại B, ABM = 500 -100 = 400 => AMB = 700.
*(H6) => DDAC cân tại A. Từ đó có hướng giải quyết tương tự.
Bài toán 5: Cho DABC, B = C = 450. Điểm E nằm trong tam giác sao cho: EAC = ECA = 150. Tính góc BEA ?
Nhận xét: Xuất phát từ 150 và 750 đã biết.Ta có: 600=750 -150 và EA = EC do DAEC cân tại E. Với những yếu tố đó giúp ta nghĩ đến việc dựng h́ình phụ là tam giác đều.
Hướng giải:
(H7) (H8)
Vẽ DAEI đều (I, B cùng phía so với AE). (H7)
Ta có: DAEC = DAIB (c.g.c) => IB = CE mà EA = EC (DAEI đều )
=>IB = EI => DEIB cân tại I.
=> EIB = 3600 - (600 + 1500) = 1500
=> IEB = 150.
=> BEA = BEI + IEA = 750
Dạng 2: Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác cân có một góc đã biết số đo.
Yêu cầu:
+Học sinh xây dựng sơ đồ phân tích giả thiết
+ Thiết lập mối quan hệ giữa các đơn vị kiến thức phân tích được từ giả thiết.
+ Đặt vấn đề cho các đơn vị kiến thức khai được với các kết luận của bài. khi đó xảy ra hai khả năng.
 Kết luận được giải quyết sau khi thiết lập quan hệ các kiến thức.
 Kết luận chưa được giải quyết sau khi thiết lập quan hệ các kiến thức
+Khi kết luận của bài toán chưa được giải quyết thì học sinh cần phải phân tích thật sâu kết luận theo sơ đồ phân tích đi lên, xem kết luận của bài liên quan đến đơn vị kiến thức nào.
+Với những bài toán khó học sinh cần phải thiết lập cả hai sơ đồ
+Trong việc phân tích học sinh cần cố gắng tìm ra “sợi chỉ” liên kết giữa giả thiết và kết luận đó chính là “một hoặc nhiều tam giác cân đã biết số đo một góc”.
+ Học sinh phải luôn định hình được rằng khi gặp các bài tập khó việc phân tích tìm tòi tối ưu giả thiết vẫn chưa đủ để đưa ra hướng đi, khi đó giáo viên lưu ý các em đến việc vẽ thêm hình phụ.
Bài toán 6: Cho tam giác abc có , . trên đường phân giác BE của tam giác ta lấy điểm F sao cho , gọi N là trung điểm của AF, ENcắt AB tại K. tính số đo .
Ta có hình vẽ: 
 (H9)
Nhận xét:Bài toán này sau khi vẽ hình ghi giả thiết kết luận thì nhiều học sinh không biết định hình như thế nào cả ( các em không biết bắt đầu từ đâu), hầu hết không nảy sinh suy nghĩ gì cả ngoài một số học sinh suy nghĩ khá đơn giản theo sơ đồ.
= 
= 
= 1600 - 1100 + 
= 500 + 
= 500 + 1800 - 
= 2300 - 500 - 
= 
* tính thế nào thì các em thấy bối rối, bởi trong quá tŕnh phân tích chủ yếu các em nghĩ đến kiến thức tổng ba góc trong tam giác để tính số đo góc. Khi được tôi hướng dẫn các em nghĩ đến kiến thức
*Trong một tam giác cân chỉ cần biêt số đo một góc ta sẽ tính được số đo của các góc c̣òn lại.
*Phân tích giả thiết, thiết lập quan hệ các kiến thức khai thác theo sơ đồ và hệ thống.
+ và => 
+ Tia BE là phân giác g?c B => 
+ => ( Tính chất góc ngoài)
Và ( Vì góc A có số đo bằng 500)
+ Điểm N là trung điểm của AF => EN là trung tuyến
Và AN = NF = AF
* Kết hợp các khẳng định đã phân tích được từ giả thiết
+và => AEF cân tại E => 
Và 
+AEF cân tại E EN là phân giác gác góc AEF
EN là trung tuyến ứng với AF => 
=>BEC = BEK ( g - c - g) => BK = BC => BKC cân tại B
+ => .
Bài toán 7: 	Cho tam giác ABC cân có . Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho . Trên AC lấy E sao cho . Gọi I là giao điểm của AD và BE. Tính số đo các góc trong của tam giác IDE
 (H10)
Nhận xét:Với bài tập này sau khi vẽ hình ghi giả thiêt kết luận thì học sinh thấy bất ngờ, vì tất cả các góc của tam giác IDE đều chưa một góc nào có thể tìm ra ngay số đo song chỉ cần lưu ý một chút thì các em sẽ tính được số đo của góc DIE. C̣òn việc tính số đo góc IDE, góc IED lại là một vấn đề khá khó khăn. Qua thực tế tôi thấy các em học sinh khá cũng chưa tìm được sơ đồ phân tích để tìm ra lời giải, tất nhiên khi các em được tiếp cận lý thuyết của dạng toán này thì phần nào cũng dự đoán là IDE cân tại I. Sau đó có những em biết tam giác IDE cân được là do chứng minh được 2 cạnh bằng nhau chứ không thông qua góc. Khi đó chúng ta dẫn dắt các em tiếp tục phân tích sâu các giả thiết của bài theo sơ đồ hoặc hệ thống kiến thức và kết hợp các kiến thức đã để tìm ṭòi hướng đi.
+ ABC ( 
+ + 300 = 1000
+ ADB ( ) DAB cân tại D
+ Đến đây là thời điểm khá lúng túng của học sinh và các kiến thức cơ bản đă được vận dụng nhưng chưa tìm được hướng đi. Lúc này chúng ta hướng các em đến việc vẽ thêm hình phụ.
+Ta cần có ID = IE mà ID nằm trên DA c̣òn IE nằm trên EB nên lấy K trên IB sao cho IK = IA, khi đó ta chỉ việc chứng minh DA = EK là xong.
+ Ta có IK = IA và => AIK cân tại I
Và 
=> => KAE cân tại K => AK = KE
+ Vấn đề được đặt ra là chứng minh AD = AK, đến đây có rất nhiều phương án vẽ thêm hình phụ như vẽ tam giác đều cạnh AB, tam giác đều cạnh DA hoặc cạnh DB song tôi vẫn muốn hướng các em vào việc lầm xuất hiện tam giác cân biết số đo một góc. Khi đó các em suy nghĩ và phát hiện ra vẽ tia phân giác của góc DAK
+ Vẽ tia AM là phân giác của góc DAK mà 
=> 
=> ABM cân tại M => MB = MA và 
=> DMB = DMA => 
=> DMA = KMA => AD = AK
Giải chi tiết:
Ta có : 	( Vì)
Mà : 	( Tổng ba góc trong tam giác)
Hay : 
Lại có: 	( Tính chất góc ngoài của tam giác)
Nên : 
Trên IB lấy điểm K sao cho IK = IA
Suy ra: IAK cân tại I
Mà : 	 ( Hai góc đối đỉnh)
Do đó: 	 ( Hai góc đáy tam giác cân)
Kẻ tia AM là phân giác gác IAK ( M thuộc IB)
Nên : 	 ( Tính chất tia phân giác)
Suy ra: 
Do đó: MAB cân tại M	 ( Vì có hai góc bằng nhau)
Hay : MA = MB và 
Xét : DMA và DMB có
MA = MB	(cmt)
MD là cạnh chung
DA = DB 	( Hai cạnh bên tam giác cân)
Nên : DMA = DMB 	( c - c - c)
Suy ra: 	( Hai góc tương ứng)
Mặt khác: 
Do đó: 
Xét : AMD và AMK có
AM là cạnh chung
AMD = AMK	( g - c - g)
Nên : AD = AK
Lại có: AKE cân tại K ( Vì có hai góc bằng nhau)
Hay : AK = KE
Suy ra: AD = KE = AK
 IA = IK	( Cách vẽ điểm K)
Do đó: ID = IE
Nên : DIE cân tại I
Mà : 
Vậy : 	(ĐPCM)
Dạng 3. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền hoặc tam giác vuông có góc bằng 300
+Yêu cầu:
+ Lập sơ đồ phân tích giả thiết
+ Lập mối quan hệ giữa các kiến thức vừa phân tích được từ giả thiết
( Chú ý nhiều đến tam giác vuông và quan hệ cạnh góc vuông với các đoạn thẳng khác).
+Trong phân tích và khai thác khá triệt để giả thiết mà không thiết lập được mối quan hệ để giải quyết vấn đề thì các em cần phân tích kết luận (theo sơ đồ phân tích đi lên)
+Kết hợp sơ đồ phân tích giả thiết và phân tích kết luận mà vẫn chưa tìm được hướng giải thì các em cần đặc biệt lưu ý đến việc vẽ thêm yêu tố phụ.
+ Khi vẽ thêm yếu tố phụ thì cũng phải phân tích thật sâu giả thiết và kết luận của bài toán để tìm ra “ Sợi chỉ” liên hệ giữa các đơn vị kiến thức nhằm vẽ chính xác sát thực với nhu cầu tránh được việc vẽ xa rời thực tế
=>Hình phụ vẽ không thể thoả măn nhiều điều kiện, mà chỉ vẽ thoả măn một điều kiện
=> Các hình phụ thường được vẽ là.
+ Vẽ tia phân giác của góc
+ Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng
+ Vẽ đường vuông góc với đường thẳng
+Vẽ đường thẳng song song với đường thẳng
+ Vẽ tạo với tia cho trước một góc có số đo xác định.
+ Sau khi vẽ thêm hình phụ phải phân tích sâu chi tiết để nhằm tìm ra và thiết lập được hệ thống các đơn vị kiến thức để giải bài.
Bài toán 8: Cho DABC, C = 300. Đường cao AH, AH = BC. D là trung điểm của AB. Tính ACD = ?
Hướng giải: (H.11) 
 Xét DAHC có C = 300, AHC = 1V => AH = AC
mà AH = BC (gt) => AC = BC
=> DACB cân tại C => CD là phân giác => ACD = 150.
Nhận xét: Suy nghĩ chứng minh DACB cân xuất phát từ đâu?
Phải chăng xuất phát từ DAHC vuông có C = 300 và AH = BC. Thực sự hai yếu tố này đă giúp ta nghĩ đến tam giác vuông có một góc bằng 300.
Với ý tưởng và cách nghĩ này, chúng ta có thể vẽ hình phụ theo phương án sau:
Vẽ tam giác vuông BCI, BIC = 1V, C = 300 (I, A khác phía so với BC).
Bài toán 9:Tính các góc của tam giác ABC biết rằng đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc bằng nhau.
Ta có hình vẽ:
(H12)
Nhận xét :	Bài toán này khá cơ bản nhưng khi chưa được làm quen thì các em vẫn thấy khó và lúng túng không biết bắt đầu từ đâu...... Nhưng sau khi làm quen với lý thuyêt cùng các yêu cầu giải toán thì các em đã biết hình thành sơ đồ hệ thống phân tích giả thiết
+Đường cao AH, trung tuyến AM chia góc BAC thành ba góc bằng nhau
 ABM cân tại A (Đ/cao đồng thời là P/giác) AH đồng thời là trung tuyến HB = HM = BM HM = MC
 Đến đây thì khá nhiều học sinh không phân tích được tiếp. Song cũng đã có nhiều em nghĩ đến vẽ thêm đường phụ và các em tự đặt cho mình câu hỏi
Hình phụ phải liên quan đến và liên quan đến HM = HB = BM = MC
 Đã có em nghĩ ngay đến việc vẽ MK AC tại K
Khi đó có sơ sơ đồ phân tích.
 AM AC tại K VgAHM = VgAKM MK = MH
 MK = MC = 300 
Giải chi tiết:
Vẽ MK vuông góc với AC tại K
Xét : ABM có
AH là đường cao ứng với cạnh BM
AH là phân giác ứng với cạnh BM ( Vì )
Nên : ABM cân ở đỉnh A
Suy ra: AH là trung tuyến ứng với cạnh BM
Hay : H là trung điểm của BM
Do đó: HM = BM = BC
Xét : VgAHM và VgAKM có
AM là cạnh huyền chung
	( Giả thiết)
Nên	: VgAHM = VgAKM	( Cạnh huyền góc nhọn)
Suy ra: HM = KM	( Hai cạnh tương ứng)
Do đó: KM = BC
Hay	: KM = MC
Xét 	: MKC có , KM = MC
Nên	: khi đó ta tính được 
Vậy	: ,
Dạng 4: Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông cân
Lưu ý : Những công việc phải làm trong dạng này không có gì khác nhiều so với những yêu cầu của dạng2, dạng 3. Nhưng trong dạng này trong sự phân tích lập sơ đồ các em cần suy nghĩ nhiều về việc tìm ra tam giác vuông cân hoặc vẽ thêm đường phụ để có được tam giác vuông cân, tất nhiên không bỏ qua sự hỗ trợ các suy nghĩ của dạng 2 và dạng 3.
Bài toán 10:Cho DABC, M là trung điểm của BC, BAM = 300, MAC = 150. Tính: BCA = ?
Nhận xét: Khi đọc kỹ bàI toán ta thấy BAM = 300, MAC = 150, BM = MC quan sát hình vẽ rồi nhận dạng bài toán ta biết được nó có nguồn gốc từ bài toán 5 mặt khác có BAC = 450
Điều này giúp ta nghĩ đến dựng tam vuông giác cân.
Giải chi tiết:(H14)
Cách 1: (H.14). Hạ CK ^ AB (Dễ chứng minh được tia CB nằm giữa hai tia CA và CK). Ta có DAKC vuông cân tại K (ví BAC = 450)
=> KA = KC . Vẽ DASC vuông cân tại S (K, S khác phía so với AC.)
Do DBKC vuông tại K => KM = BC = MC=> DKMC cân tại M
Dễ thấy DKAM = DCSM (c.g.c) =>CSM = 300 => ASM = 600 và
SAM = 600 => DASM đều => AS = SM = AK => DAKM cân tại A
=> MKC = MCK = 900 - 750 = 150 => BCA = 450 - 150 = 300.
Cách 2:(H15)
(H.15) Lấy D đối xứng với B qua AM => DBAD cân tại A
mà BAM = 300 (gt) => BAD = 600 => DABD đều. Ta có DC // MI
(Vì MB = MC, IB = ID),(BD Ç AM = {I}) mà MI ^ BD => CD^BD
Mặt khác xét: DADC có CAD = 150(gt) , ADC = 600 + 900 = 1500
=> DCA = 150 => DADC cân tại D => AD = CD mà AD = BD (DADB đều).
Vậy DBDC vuông cân tại D => DCB = 450=>BCA = 450 - DCA = 450 - 150 = 300.
Bài toán 11
Cho tam giác ABC có góc BAC tù, đường cao AH, đường phân giác BD sao cho . Tính số đo góc ADB.
Ta có hình vẽ
(H16)
Bài toán này không c̣òn khó với nhiều học sinh về mặt tư duy và suy luận lôgíc nữa các em cần quan tâm nhiều đến các kiến thức bổ sung trong đã có tính chất “Trong tam giác đường phân giác của hai góc ngoài tại hai đỉnh và đường phân giác giác trong tại đỉnh c̣òn lại cùng đi qua một điểm”.
Giải chi tiết.
Kẻ BK vuông góc với AC tại K
Ta có: 	(Giả thiết)
Nên : 
Hay : Tia HD là phân giác của giác AHC
Xét : AHB có
Tia BD là phân giác góc trong tại đỉnh B và
Tia HD là phân giác góc ngoài tại đỉnh H cắt nhau tại D
Do đó: Tia AD là phân giác góc ngoài tại đỉnh A
Suy ra: 	( Tính chất tia phân giác)
Mà : 	( Hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)
Hay : 
Mặt khá