Chuyên đề Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

, d > 0. Chứng minh rằng: 
 a) 	 b) 
c) d) 
Bài 5. (Mở rộng) Cho = . Chứng minh:
 a) = 	b) = 
 c) = d) = 
 e) = 
 f) = 
 Bài 6. Cho = = . Chứng minh rằng: 
 a) ( )3= 	b) 
 Bài 7. Cho = = . Chứng minh: = = .
 Bài 8. Cho a(y+z) = b(z+x) = c(x+y) với a ≠ b ≠ c và a, b, c ≠ 0. Chứng minh rằng: = = .
 Bài 9. Chứng minh rằng: Nếu a+c = 2b & 2bd = c(b+d) thì = với b, d ≠ 0. 
 Bài 10. Chứng minh rằng: Nếu a2 = bc thì = . 
 Điều đảo lại có đúng không?
 Bài 11. Cho bốn số khác 0 là: a1, a2, a3, a4 thoả mãn a22 = a1.a3 và a32 = a2.a4
 Chứng minh rằng: 
 Bài 12. Chứng minh rằng: Nếu = thì với n ẻ N.
 Bài 13. Chứng minh rằng: Nếu thì = ± .
 Bài 14. Từ ( )n = với n ẻ N suy ra: = nếu n là số tự nhiên lẻ
 & = ± nếu n là số tự nhiên chẵn.
 Bài 15. Chứng minh rằng: =( )2008 biết = = =  = .
 Bài 16. Chứng minh rằng: Nếu = thì = .
 Bài 17. Cho k, m, n ẻ N*. Chứng minh rằng: Nếu k2 = m.n thì = .
 Bài 18. Cho = . Hãy chứng minh: 
 a) = = 
 b) (a+2c).(b+d) = (a+c).(b+2d) 
 c) ( )4 = 
 Bài 19. Chứng minh: = biết rằng (a+b+c+d).(a-b-c+d) = (a-b+c-d).(a+b-c-d)
 Bài 20. Chứng minh: = (Đây là cách rút gọn hỗn số)
 HD: = = = .
Dạng 2. Tìm số chưa biết trong dãy tỉ số bằng nhau.
 2.1. Phương pháp chung:
 +) Dạng bài tập này các em gặp rất nhiều, nó rất phong phú và đa dạng. Bài thường cho 2 dữ kiện, cũng có khi chỉ cho 1 dữ kiện. Từ những mối quan hệ đó ta có thể tìm được đáp án của bài, nhưng cũng có thể phải biến đổi rồi mới sử dụng được. 
 +) Có thể sử dụng phương pháp ở dạng 1.
 +) Lưu ý đến dấu của số cần tìm trong trường hợp có số mũ chẵn hoặc tích của 2 số, để tránh tìm ra số không thoả mãn yêu cầu của bài. Cũng lưu ý các trường hợp có thể xảy ra để không bỏ xót những giá trị cần tìm.
2.2. Một số ví dụ:
 Ví dụ 1. Tìm x, y khác 0 biết: 
 a) = và 2x + 5y = 10
 b) = - và 2x + 3y = 7
 c) 21.x = 19.y và x – y = 4
 d) = và x.y = 84
 Bài này tương đối dễ, chỉ cần áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau là tìm được ngay đáp số của bài; Nhưng trước tiên phải biến đổi tỉ lệ thức của bài một chút cho phù hợp với mối quan hệ còn lại.
Lời giải:
 a) Có = Û = = = 
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 = = = = 
 Do đó: +) = suy ra x = = 
 +) = suy ra y = = 
 Vậy: x = và y = 
 b) Có = - Û = 
 Do đó: = = = 
 Hay: +) = suy ra: 2x = Û x = - 
 +) = suy ra: y = 
 Vậy: x = - và y = 
 c) 21.x = 19. y Û = 
 Do đó: = = = = -2
 Hay: +) = -2 Û x = -2.19 = -38
 +) = -2 Û y = -2.21 = -42
Vậy: x = - 38 và y = - 42
 d) = ị = = = = 4
 Hay: +) = 4 Û x2 = 36 Û x = ± 6
 +) = 4 Û y2 = 196 Û y = ± 14
Vậy: x = 6 và y = 14 hoặc x = - 6 và y = -14
* Cũng có em làm cách khác:
 Có = Û = 
 mà xy = 84 ( x và y cùng dấu)
 nên . xy = . 84 Û x2 = 36 Û x = ± 6
 và xy: = 84: Û y2 = 196 Û y = ±14
 Ví dụ 2. Tìm x, y, z biết: 
 a) = ; = và 2x + 3y – z = 186	
 b) x : y : z = 3 : 5 (- 2) và 5x – y + 3z = 124
 c) = = = 
Lời giải: 
Chắc chắn là phải sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau nhưng lại chưa có, hãy làm xuất hiện dãy tỉ số bằng nhau.
Có: = Û = 
 = Û = 
 Do đó: = = = = = = = 3
 Hay: +) = 3 Û x = 3.15 = 45
 +) = 3 Û y = 3.20 = 60
 +) = 3 Û z = 3.28 = 84
Vậy: x = 45 ; y = 60 ; z = 84
 b) Tương tự như câu a): Có x : y : z = 3 :5 : (- 2) Û = = 
 Do đó, ta có: = = = = = = = 31
 Hay: +) = 31 Û x = 31.3 = 93
 +) = 31 Û y = 31.5 = 155
 +) = 31 Û z = 31.(-2) = -62
Vậy: x = 93 ; y = 155 ; z = -62.
 c) Bài chỉ cho dãy tỉ số bằng nhau chứ không cho thêm mối quan hệ khác như những bài trước. Khác những bài trước, học sinh thấy mới lạ. Vậy thì làm thế nào? Liệu có làm xuất hiện mối quan hệ khác từ dãy tỉ số bằng nhau không?
Có: = = = = = 2
 Suy ra: x+y+z = . 
 Khi đó: y+z = - x ; x+z = - y ; x+y = - z 
 Do đó: +) = 2 Û = 2 Û x = 
 	+) = 2 Û = 2 Û y = 
 +) = 2 Û = 2 Û z = - 
 Vậy: x = ; y = ; z = - .
 Ví dụ 3. Tìm các số x, y, z biết: = = và 5z – 3x – 4y = 50
 Gặp bài này, các em không tránh khỏi băn khoăn: Tạo ra 5z, 3x, 4y bằng cách nào đây? Vì x còn vướng -1, y vướng 3 và z vướng -5. Cứ bình tĩnh và làm như bình thường xem sao?
Lời giải:
Có: = = & 5z – 3x – 4y = 50
 Û = = & 5z – 3x – 4y = 50
 Û = = = = = 2
Hay: +) = 2	Û x – 1 = 4 Û x = 5
 +) = 2	Û y + 3 = 8 Û y = 5
 +) = 2	Û z – 5 = 12 Û z = 17
Vậy: x = y = 5 ; z = 17
Ví dụ 4. Tìm a, b, c biết rằng: 2a = 3b = 4c và a – b + c = 35
Đã có dãy tỉ số bằng nhau chưa? Làm thế nào để có dãy tỉ số bằng nhau?
Lời giải:
 Có: 2a = 3b = 4c Û = = = = = 
 Khi đó: = = = = = 7
 Hay: +) = 7 Û a = 7.6 = 42
 +) = 7 Û b = 7.4 = 28
 +) = 7 Û c = 7.3 = 21
Vậy: a = 42 ; b = 28 ; c = 21
 Ví dụ 5. Tìm x biết: = 
 Đầu bài thật đơn giản, nhưng làm như thế nào? Chỉ có mỗi một mối quan hệ, có thể làm triệt tiêu x được không?
Lời giải:
Có: = = = = 4
Hay: = 4 Û x – 12 = 20
 Û x = 20 + 12 
 Û x = 32
 Vậy: x = 32.
 Ví dụ 6. Tìm a, b biết rằng: 
 a) = và a2 – b2 = 36
 b) = và ab = 48 
 Muốn sử dụng được tính chất của dãy tỉ số bằng nhau thì phải qua bước biến đổi đã: Phải làm xuất hiện được a2, b2 ở câu a và tích ab ở câu b. Làm được điều đó thì coi như bài toán đã được hoàn thành 90%.
 Lời giải: 
Có: = (a, b cùng dấu)
 Suy ra: = = = = 4
 Hay: = 4 Û a2 = 100 Û a = ± 10
 = 4 Û b2 = 64 Û b = ± 8
 Vậy: a = 10 và b = 8 hoặc a = - 10 và b = - 8.
b) Có: = 
 Suy ra: = = = = 4
 Hay: = 4 Û a2 = 36 Û a = ± 6
 = 4 Û b2 = 64 Û b = ± 8
Vậy: a = 6 và b = 8 hoặc a = - 6 và b = - 8.
Ví dụ 7. Tìm x1, x2, x3, , x9 biết rằng: 
 = = =  = và x1 + x2 + x3 +  + x9 = 90
 Nhìn có vẻ khó vì nhiều số chưa biết phải tìm quá. Không vấn đề gì, đã có tính chất cuă dãy tỉ số bằng nhau đây rồi.
 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 = = =  = = 
 = 
 = 
 = 1
 +) = 1 Û x1 = 9 + 1 = 10
 +) = 1 Û x2 = 8 + 2 = 10
 +) = 1 Û x3 = 7 + 3 = 10
 +) = 1 Û x9 = 1 + 9 = 10
 Vậy: x1 = x2 = x3 =  = x9 = 10.
 Ví dụ 8. 
a) Tìm phân số có dạng tối giản biết = với a, b ẻ Z và b ≠ 0.
 b) Cho phân số . Tìm các số nguyên x, y sao cho = .
Lời giải: 
a) = 
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
 = = = = 
 Phân số cần tìm có dạng tối giản = nên phân số cần tìm có dạng 
với k ẻ Z và k ≠ 0.
b) Tương tự như câu a, nhưng tổng quát hơn.
 Có: = = = 
 Với = thì ta có thể tìm được vô số các số nguyên x, y thoả mãn.
Ví dụ 9. Tìm x, y biết:
a) = & x4 y4 = 16
b) = & x10 y10 = 1024
c) = = 
 Bài này khó đây, số mũ to, có 2 số chưa biết mà chỉ có 1 mối quan hệ. Làm bằng cách nào, làm như thế nào?
Lời giải: 
a) Có thể đưa về số mũ nhỏ hơn không? Đưa về bài toán đã biết cách làm có được không? Còn chần chừ gì nữa, cứ thử xem?
Từ = suy ra: = = và x, y cùng dấu (1)
Với x4 y4 = 16 Û xy = ± 2 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta có: = = = = 
Hay: +) = Û x2 = 1 Û x = ± 1
 +) = Û y2 = 4 Û y = ± 2
Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = - 1 và y = - 2
 b) Có sử dụng được cách làm như ở câu a không? Tại sao lại không thử xem? Chú ý đến dấu của x, y vì rất dễ kết luận thiếu giá trị cần tìm. 
Có: = = = 
 Û = 
 Û = x2 
x = ± 
 Khi đó: x10y10 = (± )10.y10 = 1024 Û y20 = 210.1024
 y20 = 220
y = ± 2
 Do đó: x = ± 1
 Vậy: x = 1 và y = 2 hoặc x = –1 và y = –2 
 hoặc x = 1 và y = –2	hoặc x = –1 và y = 2
c) Câu này làm học sinh hoang mang bởi vị trí của x. Nhưng chính điều đó lại là chìa khoá để mở cửa căn phòng chứa đáp án của bài.
 Hãy gợi ý các em nhận về mối quan hệ giữa 2x +1, 3y – 2 và 2x + 3y – 1. Bây giờ thì bài lại trở thành quá đơn giản với những gì có trong hành trang của các em. 
 = = (1)
 = = = (2)
Từ (1), (2) ta có: 6x = 12 Û x = 2 thay vào (1) thì y = 3
Vậy: x = 2 và y = 3.
 Ví dụ 10. Tìm ba số x, y, z biết = = (1) và x2 + y2 + z2 = 14
 Làm thế nào đây khi vừa có mũ 3 lại có cả mũ 2? Thường thì hạ bậc xuống thấp cho dễ tính, làm điều đó với bậc 2 ở đây là không thể, còn bậc 3 thì sao? 
Û = = 
 Suy ra: = = = = = 
Hay: +) = Û x2 = 1 Û x = ± 1
 +) = Û y2 = 4 Û y = ± 2
 +) = Û z2 = 9 Û z = ± 3
Mà theo (1) thì x, y, z cùng dấu
Nên: x = 1; y = 2; z = 3 hoặc x = –1; y = –2; z = –3.
2.3. Tiểu kết:
 Dạng bài tập này tương đối phức tạp, nếu không làm và trình bày cẩn thận thì rất dễ bị nhầm lẫn. Kiến thức thì không phải là quá khó nhưng rất cần đến khả năng quan sát và kĩ năng biến đổi. Cũng cần đến sự khéo léo đưa bài toán về dạng quen thuộc đã biết cách làm ở dạng 1.
 2.4. Bài tập tương tự:
Bài 1. Tìm các số a, b, c, d biết: 
a) a : b : c : d = 15 : 7 : 3 : 1 và a – b + c – d 
b) 2a = 3b ; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30
c) 3a = 4b & b – a = 5
Bài 2. Tìm x1, x2, , xn–1, xn biết:
 = =  = = và x1+x2+  +xn–1+xn = c 
(Với a1, a2,  ,an–1, an khác 0 và a1+a2+  +an–1+an ≠ 0) 
Bài 3. Tìm a, b, c, d biết: 
 a) = = = & a + b + c + d = 12.
 b) = = & a – 2b + 3c = 35.
 c) = ; = & a + b – c = 69.
 d) a = b = c & a – b = 15.
 e) = = & 2a + 3b – c = 95
Bài 4. Tìm x, y, z biết:
a) và xy = 54
b) ; x2 – y2 = 4 với x, y > 0
c) ; và x + y + z = 92
d) 2x = 3y = 5z và x + y – z = 95
e) 
g) và 4x – 3y + 2z 36
h) và x – 2y + 3z = 14
i) và xyz = 12
k) và x2 + y2 = 100
l) ; và x2 + y2 + z2 = 217
m) và 2x3 – 1 = 1
n) ; x2 – y2 = 81 với x, y > 0
p) và x2 + y2 = 208
Bài 5. Tìm x biết:
a) 	b) 	c) 
d) 	e) 
Bài 6. Tìm a, b, c biết
a) và 3a + b – 2c = 14
b) và a + 2b – c = 6
c) và 5a + b – 2c = 28
d) và 2a + 3b – c = 50
e) và a + b + c = 48
f) và a + b +c = 49
g) và abc = 810
h) và –a + b + c = –120
i) và 2a + 3b – c = 186
k) và 2a – 3b + c = 6
l) và a – b + c = 78
m) và 2a + 5b – 2c = 100
n) và a3 + b3 + c3 = 99
p) 3a = 2b ; 7b = 5c và a – b + c = 32
q) 5a = 8b = 20c và a – b – c = 3
Dạng 3. Tính giá trị biểu thức.
 3.1. Phương pháp chung:
 +) Đây là loại bài tập khó, đòi hỏi học sinh phải huy động nhiều kiến thức và kĩ năng cũng như biết tổng hợp tri thức phương pháp đã học. Khả năng quan sát và dự đoán được sử dụng nhiều, liên tục, đồng thời với sự suy luận logic, sáng tạo...
 +) Làm dạng bài tập này, học sinh rất cần đến sự xúc tác của giáo viên mỗi khi các em gặp bế tắc. Những lúc đó thì giáo viên chỉ cần gợi mở hướng đi cho học sinh bằng những câu hỏi mở...
3.2. Một số ví dụ:
Ví dụ 1. Cho x, y, z thoả mãn: với x, y, z khác 0. 
 Tính: P = 
 Bài này tương đối khó khi thoạt nhìn, vì học sinh chẳng biết làm thế nào để tính được P đây? Cứ bình tĩnh quan sát đặc điểm của biểu thức P để tìm mối liên hệ giữa P và dãy tỉ số bằng nhau đã cho thì các em không chỉ tìm được một cách làm.
* Đặt = k (k khác 0) thì x = 2k , y = 5k , z = 7k
Khi đó: P = 	
Vậy: P = 
* Hoặc cách khác: 
Ta có: suy ra x – y + z = 2x
Lại có: suy ra x + 2y – z = 
Do đó: P = 
Vậy: P = 
Ví dụ 2. Cho 3 tỉ số bằng nhau ; ; . 
 Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó.
Với bài này các em dễ dàng tìm ra đáp án: 
 = = = = 
Và kết luận: Giá trị của mỗi tỉ số đã cho là .
 Nhưng chỉ có thế thì lời giải bài toán chưa được hoàn thiện. Mà phải trình bày được như sau: 
 Có: = = = (*)
+) Nếu a + b +c ≠ 0 thì = = = = 
+) Nếu a + b +c = 0 thì b + c = –a ; c + a = –b ; a + b = –c.
 Khi đó: = ; ; 
 Hoặc: = = = 
 Vậy: +) Nếu a + b +c ≠ 0 thì = = = 
 +) Nếu a + b +c = 0 thì = = = 
Ví dụ 3. Cho biểu thức: P = 
Tìm giá trị của biểu thức P biết: 	(*)
 Chỉ cần nhìn đầu bài thôi đã thấy sợ rồi. Làm thế nào để tính được giá trị của biểu thức P? Có thể thấy dãy tỉ số bằng nhau (*) khá quen thuộc, nhưng P thì không. 
Liệu có thể sử dụng các cách đã làm không? Sử lí (*) như thế nào đây?
Lời giải:
Có: 
Hay: 
+) Nếu x + y + z + t ≠ 0 thì y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z
 x = y = z = t khi đó: P = 1 + 1 + 1 +1 = 4
+) Nếu x + y + z + t = 0 thì x + y = – (z + t) ; y + z = – (z + t) 
Khi đó: P = (– 1) + (– 1) + (– 1) +(– 1) = – 4
 Vậy: +) P = 4 khi x + y + z + t ≠ 0 
 +) P = – 4 khi x + y + z + t = 0
3.3. Tiểu kết:
	Dạng bài tập này gây tương đối nhiều khó khăn cho học sinh bởi sự suy luận logic và tính phức tạp của nó. Nhưng với vai trò gợi mở của giáo viên thì học sinh có được cảm giác của người khám phá ra điều thú vị, cảm xúc của người chiến thắng. Điều đó chính là động lực kích thích các em, gây hứng khởi cho các em tiếp tục chinh phục những bài tiếp theo.
 3.4. Bài tập tương tự:
Bài 1. Cho A = . Tính A biết x, y, z tỉ lệ với 5, 4, 3.
Bài 2. Cho các số A, B, C tỉ lệ với a, b, c. 
 Tính giá trị biểu thức : Q = 
Bài 3. Cho 4 tỉ số bằng nhau: 
 ; ; ; 
Tìm giá trị của mỗi tỉ số trên.
Bài 4. Cho dãy: 
Tìm giá trị của biểu thức: M = 
Dạng 4. Toán đố:
4.1. Phương pháp chung:
 +) Loại bài tập này đầu bài được cho dưới dạng lời văn, sẽ khó khăn khi các em chuyển lời văn thành biểu thức đại số để tính toán.
 +) Khi thể hiện đầu bài bằng bểu thức đại số được rồi thì việc tìm ra đáp án cho bài toán là đơn giản vì các em đã làm thành thạo từ các dạng trước, nhưng đa số học sinh quên không trả lời cho bài toán theo ngôn ngữ lời văn của đầu bài. Phải luôn nhớ rằng: Bài hỏi gì thì ta kết luận đấy!
 +) Lưu ý: Khi gọi kí hiệu nào đó là dữ liệu chưa biết thì học sinh phải đặt điều kiện và đơn vị cho kí hiệu đó - dựa vào đại lượng cần đặt kí hiệu. Và kết quả tìm được của kí hiệu đó phải được đối chiếu với điều kiện ban đầu xem có thoả mãn hay không. Nếu không thoả mãn thì ta loại đi, nếu có thoả mãn thì ta trả lời cho bài toán.
4.2. Một số ví dụ: 
 Ví dụ 1. Tìm phân số biết rằng nếu cộng thêm cùng một số khác 0 vào tử và vào mẫu của phân số thì giá trị phân số đó không đổi.
 Dựa vào yếu tố bài cho để lập dãy tỉ số bằng nhau. 
Lời giải: 
Theo bài: Nếu ta cộng thêm cùng một số x0 vào tử và vào mẫu của phân số thì giá trị phân số không đổi .
 Ta có: = = = = = 1
 Vậy: = 1.
 Ví dụ 2. Tìm hai phân số tối giản. Biết hiệu của chúng là: và các tử tỉ lệ với 3; 5 và các mẫu tỉ lệ với 4; 7.
 Thật không đơn giản chút nào. Học sinh đọc bài xong thấy các dữ kiện bài cho cứ rối tung lên, phải làm sao đây?
 Giáo viên có thể gỡ rối cho các em bằng gợi ý nhỏ: “Các tử tỉ lệ với 3; 5 còn các mẫu tương ứng tỉ lệ với 4; 7 thì hai phân số tỉ lệ với: và ”.
Như vậy, học sinh sẽ giải quyết bài toán ngay thôi !
Lời giải:
Gọi hai phân số tối giản cần tìm là: x, y.
Theo bài toán, ta có : x : y = : và x – y = .
 = và x – y =
 Hay : = và x – y = 
 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 == = = 
 +) = x = .21 = .
 +) = y = .20 = 
 Vậy: hai phân số tối giản cần tìm là: và . 
 Ví dụ 3. Tìm 1 số có 3 chữ số, biết rằng số đó chia hết cho 18 và các chữ số của nó tỉ lệ với 1; 2; 3.
 Đọc đầu bài thì các em thấy ngắn, đơn giản, nhưng khi bắt tay vào tìm lời giải cho bài toán thì các em mới thấy sự phức tạp và khó khăn. Vì để tìm được đáp án cho bài toán này thì phải sử dụng linh hoạt kiến thức một cách hợp lí, lập luận logic từ những dữ kiện đầu bài cho và mối quan hệ giữa các yếu tố đó để tìm ra đáp án cho bài toán.
Lời giải:
* Gọi 3 chữ số của số cần tìm là: a, b, c (đ/k: a, b, c N; 0 a, b, c 9 và a, b, c không đồng thời bằng 0)
 Ta có 1a+b+c27.
Vì số cần tìm 18 = 2.9 mà (2;9)=1
Nên a+b+c có thể bằng 9; 18; 27 (1).
 Ta có: === a = 
Vì aN* nên a + b + c 6 (2).
Từ (1) và (2) suy ra: a + b + c = 18
Khi đó: ==== = 3
+) = 3 a = 3.1 = 3
+) = 3 b = 3.2 = 6
+) = 3 c = 3.3 = 9
 Mà số cần tìm 18 nên chữ số hàng đơn vị phải là chữ số 6 .
 Vậy: số cần tìm là : 396 hoặc 936 .
 Ví dụ 4.
 Một cửa hàng có 3 tấm vải, dài tổng cộng 126m. Sau khi họ bán đi tấm vải thứ nhất, tấm vải thứ hai và tấm vải thứ ba, thì số vải còn lại ở ba tấm bằng nhau. Hãy tính chiều dài của ba tấm vải lúc ban đầu .
 Bài cho rất rõ ràng, dễ hiểu. Chỉ cần học sinh biểu diễn được số vải còn lại ở mỗi tấm sau khi bán thì bài toán trở nên đơn giản và rất dễ dàng.
Lời giải: 
Gọi số mét vải của ba tấm vải lần lượt là a, b, c (m)(a ,b, c > 0)
Số mét vải còn lại ở tấm thứ nhất: a (m)
Số mét vải còn lại ở tấm thứ hai: b (m)
 Số mét vải còn lại ở tấm thứ ba: c (m)
 Theo đề bài, ta có: a + b + c = 126 và a = b = c .
 áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
 =====14
+) =14 a = 14.3 = 28
+)=14 b = 14.3 = 42
+)=14 c = 14.4 = 56
Vậy: chiều dài của mỗi tấm vải lúc đầu lần lượt là: 28m, 42m, 56m.
 Ví dụ 5.
 Có ba tủ sách đựng tất cả 2250 cuốn sách. Nếu chuyển 100 cuốn từ tủ thứ nhất sang tủ thứ 3 thì số sách ở tủ thứ 1, thứ 2, thứ 3 tỉ lệ với 16;15;14. Hỏi trước khi chuyển thì mỗi tủ có bao nhiêu cuốn sách ?
 Bài này khá phức tạp ở chỗ: số lượng sách trong mỗi tủ trước và sau khi chuyển.
Lời giải:
* Gọi số quyển sách của tủ 1, tủ 2, tủ 3 lúc đầu là: a, b, c (quyển) (a, b, c và a, b, c < 2250). Thì sau khi chuyển ,ta có:
Tủ 1: a –100 (quyển)	
Tủ 2: b (quyển)
Tủ 3: c + 100 (quyển)
Theo đề bài ta có :== và a + b + c = 2250.
 =====50
+) =50 a –100 = 50.16 a = 800 + 100 = 900 (t/m)
+) =50 b = 50.15 = 750	(t/m)
+) =50 c + 100 = 50.14 c = 700 – 100 = 600	(t/m)
Vậy: Trước khi chuyển thì: Tủ 1 có : 900 quyển sách
 Tủ 2 có : 750 quyển sách 
 Tủ 3 có : 600 quyển sách.
 Ví dụ 6.
 Cho tam giác ABC có Â và tỉ lệ với 3 và 15, = 4. Tính các góc của tam giác ABC.
 Đây là bài toán có nội dung hình học nhưng lại được giải bằng phương pháp đại số, thật đơn giản khi nhớ được dữ kiện cho dưới dạng ẩn là tổng các góc trong một tam giác bằng 1800
Lời giải:
* Theo bài ta có = và =
Hay : == mà Â + + = (Tổng 3 góc trong một tam giác)
 Nên theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
=====
+) = Â = .3 = 
+) = = .15 = 
+) = = .12 = 
 Vậy các góc của tam giác ABC là : Â = , = , = .
 Ví dụ7. 
 Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích 300 m2, có hai cạnh tỉ lệ với 4 và 3. Tính chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
 Quá dễ khi bài toán này được viết dưới dạng biểu thức. Nhưng để lập được biểu thức thể hiện mối quan hệ theo đầu bài thì lại là cả một quá trình không đơn giản chút nào.
 Với lượng kiến thức và vốn hiểu biết còn hạn chế của học sinh mới bước vào lớp 7 thì giáo viên cần tỉ mỉ dẫn dắt các em từng bước nhỏ để làm xuất hiện kiến thức quen thuộc mà các em đã biết.
(?) Bài toán yêu cầu tìm những yếu tố nào?
* Chiều dài và chiều rộng của khu vườn.
 (?) Em hãy gọi những yếu tố chưa biết ấy bằng kí hiệu?
 * Gọi chiều dài khu vườn là x và chiều rộng khu vườn là y.
 (?) Đơn vị và điều kiện của x, y là gì ?
 * x (m) & y (m) (x > y > 0)
 (?) Theo đề bài: Hãy biểu diễn diện tích của vườn theo x, y và hai cạnh tỉ lệ với 4 & 3 được viết như thế nào ?
 * x.y=300 ; =
 Rất nhiều học sinh không để ý đến sự tương ứng giữa x & y với 4 & 3 nên có tỉ lệ thức: = . Giáo viên cần lưu ý đến điều đó!
 (?) Tìm x,y.
 Đến đây đã trở thành bài toán quen thuộc đối với các em, dễ dàng tìm ra kết quả:
 x = 20(m) (t/m)
 y = 15(m) (t/m)
 Vậy: chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó là 20m và 15m.
Ví dụ 8.
 Một ô tô đi từ AB mỗi giờ đi đươc 60,9 km. Hai giờ sau, một ô tô thứ hai cũng đi từ AB với vận tốc 40,6 km. Hỏi ô tô thứ nhất đi từ AB mất mấy giờ. Biết rằng xe ô tô thứ hai đến muộn hơn ô tô thứ nhất là 7 giờ.
 Với bài toán này, học sinh phải nhớ được mối quan hệ giữa ba đại lượng trong chuyển động: Quãng đường = Vận tốc.Thời gian 
 Nhưng nhớ được công thức rồi mà đầu bài cho rắc rối quá. Giáo viên giúp học sinh nhận ra mối quan hệ về thời gian đi từ AB của hai xe ô tô.
Lời giải:
* Gọi thời gian ô tô thứ 1 đi từ AB là : x (h) (Đ/k x>0)
ô tô thứ 2 xuất phát sau 2h nhưng lại tới B muộn hơn 7h nên thời gian ô tô thứ 2 đi từ AB là : x – 2 + 7 = x + 5 (h)
Vì cùng là quãng đường đi từ AB nên ta có: 60,9.x = 40,6.(x + 5)
 = 
 ====
 = x = .40,6 = . = 10 (t/m)
Vậy ô tô thứ nhất đi từ AB mất 10 giờ.
Ví dụ 9. 
 Ba xí nghiệp cùng xây dựng chung một cây cầu hết 38 triệu đồng. Xí nghiệp I có 40 xe ở cách cầu 1,5 km, xí nghiệp II có 20 xe ở cách cầu 3 km, xí nghiệp III có 30 xe ở cách cầu 1 km. Hỏi mỗi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu bao nhiêu tiền, biết rằng số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe và tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu?
 Chắc chắn nhiều học sinh không làm được bài toán này vì đầu bài rắc rối quá, vừa tỉ lệ thuận lại vừa tỉ lệ nghịch thì làm như thế nào? Thật đơn giản, cứ làm bình thường thôi:
 Lời giải: 
 Gọi số tiền mỗi xí nghiệp I, II, III phải trả lần lượt là a, b, c (triệu đồng) với 
0 < a, b, c < 38.
Theo bài ta có: a + b + c = 38 và a : b : c = 
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
+) (t/m)
+) (t/m)
+) (