Báo cáo biện pháp Phát hiện và khắc phục một số sai lầm khi giải toán của học sinh THPT

 về xét hai trường hợp: vàthì học sinh lại chỉ nói: phương trình x2 + x(2m - 1) + 1 = 0 có nghiệm duy nhất.
2.2.1.4 Không biết tìm ra tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia.
Ví dụ 5: Giải và biện luận theo tham số a bất phương trình: (1)
Sai lầm: Gặp bài toán này, học sinh hầu như không biết nên phân chia tham số a thành những trường hợp nào. Nhiều học sinh cứ ngỡ rằng 3 số: a, 2a, 3a thì dĩ nhiên 3a là lớn nhất, do đó điều kiện của bất phương trình chỉ là x > 3a và biến đổi:
(1)
Lời bình:
TH 1: Nếu a = 0, bất phương trình (1) vô nghiệm.
TH 2: Nếu a > 0, điều kiện của x là x 3a, khi đó bất phương trình tương đương với 4a - x > (2), vì a > 0 nên 
(2) . 
TH 3: Nếu a . Vì a < 0 và x ≥ a nên , do đó bất phương trình này vô nghiệm.
Việc phân chia 3 trường hợp a = 0; a 0 căn cứ một phần quan trọng vào việc tìm điều kiện chung để thay thế cho 3 điều kiện: ; ; . Phần sau của đề tài sẽ trở lại vấn đề này. 
2.2.1.5 Do hiểu sai yêu cầu của bài toán nên phân chia thiếu trường hợp.
Ví dụ 6: Tìm m sao cho phương trình: chỉ có một nghiệm thỏa mãn x > 3.
Sai lầm: Có nhiều học sinh lập luận: yêu cầu của bài toán tương đương với phương trình có nghiệm kép lớn hơn 3.
. 
Không tồn tại m.
Lại có những học sinh lập luận rằng: phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện một nghiệm lớn hơn 3: 
x1 ≤ 3 < x2 là điều kiện cần tìm.
Lời bình: Theo kiểu thứ nhất học sinh phiên dịch sai yêu cầu của bài toán, với cụm từ “chỉ có một nghiệm lớn hơn 3”, học sinh đồng nhất với “có hai nghiệm bằng nhau lớn hơn 3”. Theo kiểu thứ 2 học sinh đã gộp hai trường hợp và thành một trường hợp . Tuy nhiên đã viết điều kiện bỏ sót trường hợp .
Ngoài các sai lầm trên thì, trong phân chia trường hợp riêng, học sinh còn mắc nhiều sai lầm khác, chẳng hạn, trong quá trình phân chia có thể bỏ sót các trường hợp; phân chia trồng chéo; trùng lặp hoặc mắc phải sai lầm trong biến đổi và tính toán.
2.2.2. Sai lầm liên quan đến ngôn ngữ diễn đạt.
Học sinh thường mắc phải các kiểu sai lầm ngôn ngữ phổ biến sau:
Sai lầm về cú pháp và ngữ nghĩa.
Không ít học sinh đã cho rằng: 
; ; ; ; (-x)n = - xn (không cần chú ý tới n chẵn, n lẻ); ; cos4x =, ...
Có những hiện tượng học sinh biến đổi đúng những chưa chắc đã nắm được kiến thức một cách thực thụ.
Ví dụ 7: Nhiều công thức phát biểu một cách rất “vần” như “lim của một tổng bằng tổng các lim; lim của tích bằng tích các lim; đạo hàm của một tích bằng tích các đạo hàm; tích của các hàm số đồng biến là hàm đồng biến”; “cos đối, sin bù, phụ chéo”... học sinh chỉ nắm kiến thức theo kiểu hành văn chứ không hiểu bản chất Toán học.
Ví dụ 8: Dấu “=” có rất nhiều hình thái sử dụng như chỉ sự đồng nhất, toàn đẳng, chỉ sự thay đổi, chỉ một hành động cần tiến hành, ... Trong trường hợp này nói riêng ta nói tới dấu “=” trong nguyên hàm. Vì mang một phong cách rất “vần” nên học sinh dễ nhớ được 
,
nhưng ít học sinh hiểu được bản chất của dấu “=” đó. Trong hoàn cảnh này học sinh nắm cú pháp một cách hình thức nhưng không hiểu được ngữ nghĩa cho nên học sinh không hiểu vì sao I = 1 + I ?
Chẳng hạn, khi tính , có học sinh giải như sau: Kí hiệu I =. 
Đặt u = ; v = lnx.
Theo công thức nguyên hàm từng phần I = ta có 
I = , suy ra I = 1+ I (?)
	Đã có sự vô lí, bởi lẽ dấu “=” trong hoàn cảnh này chỉ sự bằng nhau giữa hai tập hợp: I là tập hợp của các hàm, mà I + 1 cũng là tập hợp của các hàm. Hơn nữa với cách giải trên không đi đến kết quả gì.
	Trong thực tế dạy học, ta đã bắt gặp hiện tượng, một bài toán tìm nguyên hàm nhưng với hai cách giải đúng khác nhau đã cho ra kết quả có vẻ rất khác nhau, nên đã dẫn đến sự hoài nghi về một trong hai kết quả. Khi hai người chọn hai kết quả F(x) + C và G(x) + C, tuy G(x) và F(x) mang hình thức khác nhau nhưng giữa chúng có thể chỉ sai khác một hằng số. Điều này rất hay gặp ở các hàm lượng giác ngược. Có nhiều học sinh “nắm được” cú pháp một cách hình thức nhưng không hẳn hiểu được ngữ nghĩa của kí hiệu toán học.
	2.2.2.2 Lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và đối tượng dùng để chỉ đối tượng ấy.
	 Ví dụ 9: Học sinh thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là ”, hoặc, “Chỉnh hợp chập k của n là ”; “mặt phẳng (P) là Ax + By + Cz + D = 0”.
	2.2.2.3 Áp đặt những tính chất liên quan đến khái niệm này cho khái niệm khác có những từ gần giống.
	Ví dụ 10: Học sinh nghĩ: “Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số chẵn” do bắt chước tính chất “Tổng của hai số lẻ là một số chẵn”, hoặc xuất phát từ tính chất mỗi số nguyên không chẵn thì lẻ, nên nghĩ rằng chẳng có hàm nào vừa không chẵn, vừa không lẻ.
	2.2.2.4 Lạm dụng thuật ngữ và kí hiệu Toán học để thay thế một số từ của ngôn ngữ tự nhiên.
	Ví dụ 11: a. Đa thức có hệ số bậc 3 < 0 (đa thức có hệ số bậc ba âm).
 b. Giá trị của hàm số f(x) tại x = - 2 = 3 (f(- 2) = 3).
 c. ngày như ngày (một ngày như mọi ngày).
	 2.2.2.5 Ảnh hưởng của thói quen ngôn ngữ không đúng đắn.
	Ví dụ 12: Không chú ý tới dấu của x nên học sinh viết ; học sinh còn cho rằng .
	Ở lớp 9 học sinh biết rằng mỗi số a > 0 có hai căn bậc hai và đọc là căn, nhưng khi dùng dấu căn thì phải quan niệm rằng đó là căn bậc hai số học, nghĩa là chỉ giá trị dương trong hai giá trị ấy thôi. Đáng lẽ ra, khi viết dấu căn, giáo viên đọc một cách đầy đủ rằng căn bậc hai số học của 36 bằng 6. Tuy nhiên theo thói quen giáo viên thường chỉ nói vắn tắt căn của 16 bằng 4.
	2.2.2.6 Đồng nhất ngôn ngữ có nội dung gần giống nhau.
	Ví dụ 13: Lẫn lộn cụm từ “điểm cực trị” ; “cực trị” và “giá trị cực trị”, do đó dễ sai lầm khi giải Toán chẳng hạn, bài toán: Tìm a, b để các cực trị của hàm số y = là những số dương và là các điểm cực trị. Học sinh dễ mắc mớ rằng, tại sao các cực trị là những số dương lại còn thêm giả thiết điểm cực trị mang giá trị âm, phải chăng đề không đúng?
	2.2.3. Sai lầm khi nắm các khái niệm Toán học
	Thực tiễn sư phạm cho thấy trong quá trình vận dụng khái niệm, việc không nắm vững nội hàm và ngoại diên khái niệm sẽ dẫn tới học sinh hiểu không trọn vẹn, thậm chí hiểu sai lệch bản chất khái niệm. Mặt khác, nhiều khái niệm Toán học là sự mở rộng hoặc thu hẹp của khái niệm trước đó, việc không nắm và hiểu không đúng khái niệm có liên quan làm học sinh không hiểu, không có biểu tượng đúng về khái niệm mới.
	Sai lầm về các khái niệm Toán học (đặc biệt là các khái niệm ban đầu có tính chất nền tảng) sẽ dẫn đến hệ quả tất yếu học kém toán. Vì vậy có thể nói sự “mất gốc” của học sinh về kiến thức Toán học trước hết coi là sự “mất gốc” về các khái niệm. Từ nhiều nguyên nhân khác nhau có thể dẫn tới sự nhận thức khái niệm Toán học một cách hình thức biểu hiện ở:
 + Học sinh không nắm vững nội hàm và ngoại diên của khái niệm nên nhận dạng và thể hiện khái niệm sai.
 + Hiểu sai ngôn ngữ, kí hiệu trong định nghĩa khái niệm nên diễn đạt và vận dụng sai khái niệm (khi xây dựng khái niệm khác, khi biến đổi tính toán, khi suy luận chứng minh).
 Ví dụ 14: Không nắm vững sự mở rộng khái niệm góc hình học sang khái niệm góc lượng giác dẫn đến nắm sai bản chất các hàm lượng giác dẫn tới sai lầm kế tiếp biểu diễn góc lượng giác trên đường tròn đơn vị, khi kết hợp nghiệm của phương trình, bất phương trình lượng giác thường thiếu, thừa nghiệm hoặc khi viết nghiệm của hệ phương trình thì viết một họ nghiệm dẫn tới thiếu nghiệm, chẳng hạn, khi giải phương trình tích các hàm lượng giác đều viết các họ nghiệm chung kí hiệu nên dẫn đến thu hẹp tập nghiệm:
Khi giải phương trình sin2x.sin3x.sinx = 0, học sinh cho kết quả: x=; x=; x=.
	Trong đơn vị đo góc lượng giác là radian và độ, học sinh không hiểu đây là hai đơn vị đo khác nhau nên dẫn tới sai lầm viết nghiệm của các phương trình: là x = 4 + k3600 hoặc x = 600 - .
	Không nắm vững khái niệm nghiệm của phương trình và bất phương trình nên khi giải phương trình học sinh không thừa nhận kết quả trên là nghiệm, do lâu nay học sinh nghĩ rằng nghiệm của phương trình là các giá trị rời rạc, đơn lẻ mà không phải là một khoảng, một đoạn.
	Học sinh không hiểu khái niệm nguyên hàm, dẫn tới việc chứng minh hệ thức giữa các nguyên hàm bằng cách chứng minh “đạo hàm hai vế bằng nhau”. Lẽ ra phải hiểu rằng nguyên hàm của hàm số f(x) là một tập hợp các hàm F(x) sao cho nên chứng minh hai nguyên hàm bằng nhau, tức là phải theo nguyên tắc chứng minh hai tập hợp bằng nhau. 
	Do không nắm vững khái niệm đường cong trên mặt phẳng tọa độ và đồ thị hàm số nên học sinh xem parabol trong hình học giải tích có phương trình y= x là đồ thị của hàm số ngược của hàm số y =, hoặc khi tìm tiếp tuyến của đường cong như đường tròn có phương trình đã không xét trường hợp tiếp tuyến vuông góc với Ox là x = a mà chỉ xét tiếp tuyến có dạng y = ax + b như trong đồ thị hàm số nên đã thiếu trường hợp. Ta biết rằng đồ thị hàm số là một đường cong trên mặt phẳng tọa độ nhưng không hẳn bất cứ đường cong nào trên mặt phẳng tọa độ cũng đều là đồ thị hàm số. Căn cứ vào định nghĩa hàm số ta có: trong mặt phẳng tọa độ một đường cong (C) là đồ thị hàm số y = f(x) khi chỉ với mỗi thuộc tập xác định của hàm số thì đường thẳng x = x0 song song với Oy chỉ cắt (C) tại một điểm duy nhất.
	Nắm khái niệm hàm số; khái niệm giới hạn hàm số một cách hình thức nên không ít học sinh cho rằng kí hiệu f(x) là kí hiệu của tích hai đại lượng fx, xem ; .
Sai lầm liên quan đến sử dụng định lí.
	Cấu trúc thông thường của định lí có dạng AB trong đó A là giả thiết của định lí, B là kết luận của định lí. Sai lầm phổ biến khi học định lí do xem thường ngôn ngữ và các điều kiện của giả thiết A nên suy ra các kết luận sai lầm: không có A vẫn suy ra B; không có A suy ra không có B; sử dụng định lí tương tự chưa đúng. Không nắm vững kết luận B nên sử dụng B mà không nhớ A; có B suy ra có A; có A nhưng suy ra không phải B, mà chỉ chú trọng tới phương pháp giải Toán. Do đó trong quá trình áp dụng vào giải Toán học sinh hay áp dụng thiếu điều kiện hoặc sử dụng đúng nhưng không chính xác; sử dụng định lí như định nghĩa. Đặc biệt là những định lí học sinh bị “mất gốc” hoặc không hiểu bản chất nên khi sử dụng định lí không hiểu rõ phạm vi sử dụng của định lí. 
 Ví dụ 15: Tính tích phân I = 
 Sai lầm: I = -
 Lời bình: Ta thấy rằng hàm số gián đoạn tại x = -1 nên không sử dụng được công thức Niutơn – Lepnít để tính tích phân trên. Giả thiết của công thức Niutơn – Lapnít là hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] nên cách giải trên thiếu việc kiểm tra điều kiện áp dụng định lí. Thực ra tích phân trên không tồn tại.
Ví dụ 16: Tìm giới hạn: I =
Sai lầm: Ta có , ...,. 
Nên I = 0 + 0 + ...+ 0 = 0.
Lời bình: Định lí về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương các dãy chỉ phát biểu cho một số hữu hạn các dãy, các dãy này phải có giới hạn, nhưng học sinh đã áp dụng cho tổng vô hạn. 
 Lời giải đúng là: Đặt ,
 ta có:
=
= =
= 2sin
 Nên ,
chứ không phải là 0 như lời giải sai trên đây của học sinh. 
	2.2.5 Sai lầm liên quan đến thao tác tư duy
Ví dụ 16: Chứng minh bất đẳng thức: 
 (1) với a, b, c, d, e.
	Xin nêu hai cách giải cho bài toán này trước hết không phải vì mục đích tìm cho ra nhiều lời giải, mà với mỗi cách giải sẽ gợi lên một phương hướng tổng quát hóa bài toán: 
Cách 1: Ta có 
+.
Cách 2: Xét hiệu f(a) = là một tam thức bậc hai đối với a có .
Áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được:, từ đó suy ra đpcm.
Học sinh có thể tổng quát hóa bài toán từ cách giải 2 như sau: Do a là một số cố định nên mở rộng cho n số hạng tiếp theo ta được: 
 với a, ,..., 
 Lời bình: Với cách giải tương tự
 Xét hiệu: f(a) = 
 = 
 Đây là một tam thức bậc hai đối với a. Muốn tam thức này luôn không âm thì (1)
 Theo Bất đẳng thức Bunhiacôpxki thì: 
 (1) 
 .
 	Nếu n 4 
 (1) luôn được thỏa mãn . 
Nhưng với n > 4, nếu chọn thì nên tồn tại những giá trị của a làm cho giá trị của tam thức f(a) âm, cụ thể ta có thể lấy thì khi đó f(a) = (vì n > 4) nên bất đẳng thức tổng quát hóa không đúng.
 Vậy bài toán tổng quát như thế nào? Ta trở lại với cách giải 1 vì vế trái có lặp lại bốn lần và cộng lại thì bằng . Nhưng nếu số hạng ở vế trái nhiều hơn hay ít hơn thì sự phân tích trên không đúng nữa, nếu tăng số hạng lên n số thì cần phải có n lần có tổng bằng a2, khi đó với cách viết tương tự ta được:  .
Vậy bất đẳng thức được tổng quát đúng là:
.
2.2.6 Sai lầm liên quan đến nhận thức sự tương ứng
Khi làm những bài toán có liên quan đến tư duy hàm, học sinh hay sai lầm trong việc phát hiện, thiết lập sự tương ứng giữa các đối tượng tham gia trong bài toán, đặc biệt nổi bật trong các bài toán về hàm số, phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có chứa tham số, hoặc cần đặt ẩn phụ.
Ví dụ 17: Tìm m điều kiện để phương trình sau có nghiệm:
 (1)
Sai lầm: Bài toán có nhiều hướng giải, tuy nhiên nếu chọn ẩn phụ: 
t = với , thì bài toán trở thành: tìm m để phương trình có nghiệm. Vì thế cần phải đặt điều kiện cho ẩn phụ. Học sinh có thể lí giải như sau:
+) Do t là tổng hai căn bậc hai nên t ≥ 0.
+) Do thay vào t ta có: .
+) Do t , áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ta được t nên điều kiện của t là t .
Lời bình: Với cả ba phương án điều kiện ẩn phụ như trên, học sinh đều có sai lầm vì không nhận thấy sự tương ứng giữa ẩn t và ẩn x. Lẽ ra điều kiện của t là t.
2.2.7 Sai lầm liên quan đến “chủ nghĩa hình thức”
Ví dụ 18: Tìm m để hàm số đồng biến với mọi x > 3.
Sai lầm: Bài toán trở thành tìm m để :
 với mọi x > 3.
Ta có với mọi m nên tam thức f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 3 là có f(x) nên ta suy ra .
 Lời bình: Thực tiễn dạy học cho thấy: nếu học sinh không nắm được lược đồ giải dạng bài toán trên, nếu giáo viên không làm nổi rõ lí do tại sao vị trí tương đối giữa x1; x1; là thế này, thế khác, thì dù có được giáo viên làm mẫu một số bài đến lượt học sinh, chỉ cần thay đổi một chút thôi, ví như lúc làm mẫu là còn bây giờ là họ vẫn có thể gặp sai lầm!
 Vì sao họ sai lầm? đơn giản là vì họ nghĩ rằng: Với bài thì 
x1 < x2 , bây giờ với bài không còn dấu “=” nữa, thế thì cũng phải bỏ dấu “=” ở x1 < x2 để thành x1 < x2 < 3 (!?).
 Thực ra, nếu nắm vững kiến thức về tập hợp lôgíc, nếu thông thạo cách biểu diễn tập nghiệm trên trục số, thì học sinh dễ nhận thức được rằng: trong trường hợp bây giờ, ta có chứa , thế thì biểu diễn trên trục số: 
 3
 x1 x2 
ta vẫn có x1 < x2 (bởi, cho dù x2 = 3 thì vẫn cứ chứa ).
 Lẽ ra có thể giải bài toán như sau: Ta có , ta thấy thế thì f(x) có hai nghiệm phân biệt, kí hiệu hai nghiệm đó là x1, x2 với x1 < x2. Theo Định lí thuận thì f(x) 0 tương đương với x, mặt khác theo giả thiết thì cứ hễ x 3 là có f(x) 0, cho nên cứ hễ x là x. Bằng sự minh họa của trục số, ta suy ra x1 < x2 3 
 3
 x1 x2
 m 
2.2.8 Sai lầm liên quan đến chuyển đổi bài toán
	2.2.8.1 Do đặt điều kiện của ẩn phụ.
Khi đặt ẩn phụ thường lãng quên đặt điều kiện của ẩn phụ, và cho rằng, phương trình f(x) = 0 có nghiệm khi và chỉ khi phương trình g(t) = 0 có nghiệm, trong đó g(t) là biểu thức thu được từ f(x) thông qua một phép đặt ẩn phụ nào đó. Nói cách khác, nếu phương trình xuất phát có dạng f[g(x)] thì học sinh thường đặt t = g(x) để đưa về phương trình f(t) = 0, và quan niệm rằng, phương trình f[g(x)] = 0 có nghiệm khi và chỉ khi f(t) = 0 có nghiệm.
 Ví dụ 19: Tìm m để phương trình: vô nghiệm.
Sai lầm: Đặt t = . Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để phương trình : f(t)= (*) vô nghiệm .
 Lời bình: Học sinh không đặt điều kiện cho ẩn phụ t dẫn đến xét thiếu trường hợp. Điều kiện của t là nên bài toán trở thành tìm m để (*) không có nghiệm thỏa mãn . 
TH 1:
TH 2: f(t) có nghiệm t1 ≤ t2 < 2 .
Vậy với m < 2 thì phương trình vô nghiệm.
Khi đặt ẩn phụ, mặc dù có đặt điều kiện, nhưng điều kiện quá hẹp hoặc quá rộng không sát, đặt ẩn phụ t = để đưa phương trình về ẩn t, tuy nhiên học sinh chỉ đưa ra một điều kiện cần đối với t, chứ không phải là điều kiện cần và đủ.
	2.2.8.2 Do không nắm vững các phép biến đổi tương đương.
Ví dụ 20: Giải bất phương trình .
Sai lầm: Bất phương trình trên tương đương với: 
Lời bình: 
Phép biến đổi đã bỏ sót nghiệm x = 2.
Bất phương trình đã cho tương đương với: 
Trong dạy học biến đổi phương trình, học sinh hay sai lầm khi lũy thừa hai vế của những biểu thức có chứa căn bậc chẵn, dường như căn bậc lẻ không có điều gì phải bàn thêm. Nhưng thực tế không như vậy. Xét ví dụ sau: 
	2.2.8.3 Sai lầm do chuyển đổi sai đối tượng toán học
 Ví dụ 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
 f(x) = mọi x 
 Sai lầm: f(x) = 
 Trong hệ trục tọa độ 0xy, xét các điểm A , B ; M (x; 0)
 thì f(x) = MA + MB. Theo bất đẳng thức tam giác thì MA + MB ≥ AB, 
mà AB = . Nên minf(x) = .
Lời bình: Sai lầm khi chuyển đổi từ bài toán đại số sang hình học, học sinh không ý thức được vị trí tồn tại của M. Nên chọn điểm A , B là hai điểm cùng phía so với trục hoành. Đoạn thẳng AB không cắt trục chứa 0x nên bất đẳng thức MA + MB ≥ AB không xẩy ra do đó không tồn tại điểm sao cho: M0A + M0B = AB.
 Để tránh sai lầm trên khi chuyển đổi bài toán sang sử dụng công cụ tọa độ thì cần phải lưu ý: Trong mặt phẳng cho hai điểm A, B và đường thẳng d đi qua M. Khi đó: Nếu A, B cùng phía so với d thì MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB1 với đường thẳng d, trong đó B1 là điểm đối xứng với B qua d, khi đó MA + MB = AB1. Nếu A, B khác phía so với đường thẳng d thì MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của AB với d. 
 Bài toán trên phải được giải là: chọn A; B và C (x; 0), ta có f(x) = MA + MB ≥ AB1, trong đó nên f(x), dấu bằng xẩy ra khi x =.
2.2.9. Những sai lầm liên quan đến suy luận.
 Suy luận là một trong những hình thức của tư duy. Suy luận là một quá trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề mới từ một hoặc nhiều mệnh đề đã cho. Một suy luận thường có cấu trúc logic , trong đó A là tiền đề, B là kết luận. Cấu trúc logic phản ánh cách thức rút ra kết luận tức là cách lập luận. Học sinh thiếu kiến thức về logic, sử dụng mệnh đề sai hoặc ngộ nhận là mệnh đề đúng, đánh tráo luận đề sẽ mắc sai lầm trong suy luận. Sai lầm trong suy luận khi giải Toán có các kiểu sai lầm sau:
	2.2.9.1 Sai lầm về luận cứ.
 Sai lầm thuộc loại này là do trực giác: dựa vào các mệnh đề sai do ngộ nhận, hoặc mệnh đề chưa được chứng minh là đúng, hoặc dựa vào mệnh đề tương đương với mệnh đề cần chứng minh. 
 Ví dụ 22 : Tìm m để f(x) = 
 Sai lầm: Để f(x) ≥ 0 .
 Lời bình: Kết quả trên tuy đúng nhưng là đúng một cách ngẫu nhiên. Về nguyên tắc ta phải xét riêng trường hợp hệ số bậc 2 bằng 0. Chỉ khi nó khác 0 ta mới được dùng mệnh đề trên.
2.2.9.2 Sai lầm về luận đề.
 Sai lầm chủ yếu là đánh tráo luận đề, thay thế mệnh đề cần chứng minh bằng những mệnh đề không tương đương.
 Ví dụ 23: Tìm m để phương trình (1) có nghiệm 
 Sai lầm: Đặt 
 Phương trình có nghiệm (1) (2) có nghiệm 
t > 0 là điều kiện cần tìm. 
 Cũng nhiều học sinh lập luận phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) t2 – 4t + 1 – 2m = 0 có nghiệm . Nguyên nhân dẫn đến sai lầm là chuyển đổi bài toán sang bài toán không tương đương.
	Như vậy, chỉ qua một số ví dụ, chúng ta đã làm sáng tỏ nhiều kiểu sai lầm của học sinh Trung học phổ thông khi giải Toán Đại số và Giải tích, đồng thời phân tích các nguyên nhân dẫn tới các sai lầm đó. 
2.3. CÁC GIẢI PHÁP
Một số ví dụ trên đã đưa ra lời bình, cũng chính là các cách khắc phục cho những nhận định sai lầm của học sinh trong giải toán. Các sai lầm trên không chỉ xảy ra đối với những học sinh yếu hay trung bình mà ngay cả những học sinh thi học sinh giỏi đôi khi cũng mắc phải. Do đó, để khắc phục được những nhận định sai lầm này một cách có hệ thống, chúng tôi đã đưa ra hệ thống quan điểm như sau:
2.3.1. Quan điểm 1: Trong quá trình truyền thụ tri thức và rèn luyện kĩ năng toán học, cần trang bị đầy đủ, chính xác các kiến thức Toán học, đồng thời dự đoán trước các khả năng xày ra sai lầm của học sinh.
Với quan điểm này thì trước hết, bản thân mỗi nhà giáo cần phải nâng cao ý thức tự bồi dưỡng chuyên môn, thường xuyên trao đổi, học hỏi đồng nghiệp và rèn luyện các phương pháp dạy học tích cực. 
Trong giảng dạy, giáo viên cần lường trước các khả năng xảy ra nhận định sai lầm của học sinh. Nếu dự đoán được các sai lầm trên thì chắc chắn giáo viên sẽ chuẩn bị bài giảng của mình để đề phòng trước sai lầm cho học sinh. Sự chủ độn