Sáng kiến kinh nghiệm Rèn kĩ năng giải toán về lũy thừa cho học sinh THCS

à: 0; 1; 5; 6 nâng lên lũy thừa nào ( khác 
0) cũng có chữ số tận cùng là chính những số đó. 
 +) Để tìm chữ số tận cùng của một số ta thường đưa về dạng các số có chữ số 
tận cùng là một trong các chữ số đó. 
 +) Lưu ý: những số có chữ số tận cùng là 4 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có 
chữ số tận cùng là 6 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 4, 
những số có chữ số tận cùng là 9 nâng lên lũy thừa bậc chẵn sẽ có chữ số tận 
cùng là 1 và nâng lên lũy thừa bậc lẻ sẽ có chữ số tận cùng là 9 
 +) Chú ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 
 Bài tập 1: Tìm chữ số tận cùng của các số : 20002008 , 11112008 , 987654321 , 
204681012 . 
 Dựa vào những nhận xét trên học sinh có thể dễ dàng tìm được đáp án: 
 20002008 có chữ số tận cùng là chữ số 0. 
 11112008 có chữ số tận cùng là chữ số 1. 
 987654321 có chữ số tận cùng là chữ số 5. 
 204681012 có chữ số tận cùng là chữ số 6. 
 Bài tập 2: Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 
8 
 20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 
999 , 4
765 ,996, 81975 , 
20072007 , 10231024. 
 Hướng dẫn: Đưa các lũy thừa trên về dạng các lũy thừa của số có chữ số tận 
cùng là: 0; 1; 5; 6. 
 +) 20072008 = (20074)502 = ( 1...... )502 = 1...... nên 20072008 chữ số tận cùng 
là 1 . 
 +) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = 1...... . 1357 = 7...... 
 =>13 5725 có chữ số tận cùng là 7. 
 +) 20072007 = 20072004.20073 = (20074)501. 3...... = ( 1...... )501. 3...... = 
= 1...... . 3...... 
 => 20072007 có chữ số tận cùng là 3. 
 +) 23456 = (24)864 = 16864 = 6...... => 23456 có chữ số tận cùng là 6 . 
 +) 5235 = 5232. 523 = (524)8. 8...... = ( 6...... )8 . 8...... = 6...... . 8...... = 8...... 
 => 5235 có chữ số tận cùng là 8. 
 +) 10231024 = (10234)256 = ( 1...... )256 = 1...... =>10231024 có chữ số tận cùng 
là 1 . 
 +) 20032005 = 20032004. 2003 = (20034)501. 2003 = ( 1...... )501. 2003 = 1...... 
. 2003 
 => 20032005 có chữ số tận cùng là 3 . 
 +) 204208 =( 2042)104 = ( 6...... )104 = 6...... => 204208 có chữ số tận cùng là 6. 
 +) Ta thấy 
765 là một số lẻ nên 
7654 có chữ số tận cùng là 4 
 +) 1358 2008 = (13584) 502 = ( 6...... )502 = 6...... => 1358 2008 có chữ số tận 
cùng là 6. 
 +) 81975 = 81972. 83 = (84)493. 2...... = 6...... 2...... => 81975 có chữ số tận 
cùng là 2 . 
 +) 996 = ( 94)24 =( 1...... )24 = 1...... => 996 có chữ số tận cùng là 1 . 
 +) Ta thấy 99 là một số lẻ nên 
999 có chữ số tận cùng là 9 . 
 Bài tập 3: Cho A = 172008 – 112008 – 32008 . Tìm chữ số hàng đơn vị của A. 
 Đây là dạng toán tìm chữ số tận cùng của một tổng, ta phải tìm chữ số tận 
cùng của tổng số hạng, rồi cộng các chữ số tận cùng đó lại. 
 Hướng dẫn: Tìm chữ số tận cùng của 172008 ; 112008 ; 32008 ta có : 
 A = 172008 – 112008 – 32008 = 1...... - 1...... - 1...... = 0...... - 1...... = 9...... 
 Vậy A có chữ số tận cùng là 9. 
 Bài tập 4: Cho M = 1725 + 244 – 1321 . Chứng tỏ rằng : M  10 
9 
 Ta thấy một số chia hết cho 10 khi có chữ số tận cùng là 0 nên để chứng 
tỏ M  10 ta chứng tỏ M có chữ số tận cùng là 0. 
 Giải: 1725 = 1724.17 = (174)6. 17 = ( 1...... )6.17 = 1...... .17 = 7...... 
 244 =(242)2 = 5762 = 6..... 
 1321 = (134)5.13 = ( 1...... )5.13 = 1...... . 13 = 3...... 
 Vậy M = 7...... + 6..... - 3...... = 0...... => M  10 
 Đến đây, sau khi làm bài 2, bài 3, giáo viên có thể cho học sinh làm các bài 
toán tổng quát sau: 
 Bài 5: Tìm chữ số tận cùng của các số có dạng: 
 a. A = 24n – 5 (n  N, n ≥ 1) 
 b. B = 24n + 2+ 1 (n  N) 
 c. C = 74n – 1 (n  N) 
 Hướng dẫn: a) Có : 24n = (24)n = 16 có chữ số tận cùng bằng 6 
 => 24n – 5 có chữ số tận cùng bằng 1 
 b) B = 24n + 2+ 1 (n  N) 
 Ta có 24n + 2 = 22 . 24n = 4. 16n có chữ số tận cùng là 4 
 => B = 24n + 2+ 1 có chữ số tận cùng là 5 
 c) C = 74n – 1 
 Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận cùng là 1 
 Vậy 74n – 1 có chữ số tận cùng bằng 0. 
 Bài 6: Chứng tỏ rằng, các số có dạng: 
 a) A = 122 
n
 chia hết cho 5 (n  N, n ≥ 2) 
 b) B = 424 
n
 chia hết cho 10 (n  N, n ≥ 1) 
 c) H = 392 
n
 chia hết cho 2 (n  N, n ≥ 1) 
 Với dạng bài này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho 
cả 2 và 5. Đọc đầu bài, học sinh sẽ định hướng được phải tìm chữ số tận cùng 
như bài 5, nhưng khi bắt tay vào làm thì gặp khó khăn lớn với các lũy thừa 
n22 , 
n42 , 
n29 , học sinh không biết phải tính như thế nào, rất có thể học sinh sẽ nhầm: 
 n
n
a 22 2 , n
n 44 22  , n
n 22 99  
 Khi đó giáo viên hướng dẫn như sau: 
 a) Với n  N, n ≥ 2, ta có : 
n22 =   2
222 2242.2 1622


nnn
 có chữ số tận cùng là 6 
 => A = 122 
n
 có chữ số tận cùng là 5 
10 
 Vậy A  5 
 b) Với n  N, n ≥ 1, ta có : 
n42 =   1
1
1 4444.4 1622




n
n
n
 có chữ số tận cùng là 6 
 => B = 424 
n
 có chữ số tận cùng là 0 
 Vậy B  10 
 c) Với n  N, n ≥ 1, ta có : 
n29 =   1
1
1 2222.2 8199




n
n
n
 có chữ số tận cùng là 1 
 => H = 392 
n
 có tận cùng là 4 
 Vậy H  2 
 2.2 Tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa. 
 * Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa, ta cần 
chú ý những số đặc biệt sau: 
 +) Các số có tận cùng là 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa nào (khác 0) cũng tận 
cùng bằng chính nó. 
 +) Để tìm hai chữ số tận cùng của một lũy thừa ta thường đưa về dạng các 
số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76. 
 +) các số 210; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận cùng bằng 76. 
 +) các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận cùng là 01. 
 +) Số 26n (n  N, n >1) 
 Bài tập 1: Tìm hai chữ số tận cùng của : 2100 ; 3100 
 Dựa vào nhận xét ở trên học sinh có thể dễ dàng làm được bài này: 
 2100 = (220)5 = ( 76...... )5 = 76...... 
 3100 = (320)5= ( 01...... )5 = 01...... 
 Bài tập 2: Tìm hai chữ số tận cùng của: 
 a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101. 16101 
 Hướng dẫn: Đưa về dạng các số có hai chữ số tận cùng là: 01; 25 hoặc 76. 
 a) 5151 = (512)25. 51 = ( 01...... )25. 51 = 01...... . 51 = 51...... 
 => 5151 có 2 chữ số tận cùng là 51 
 Tương tự: 
 b) 9999 =(992)49.99 = ( 01...... )49 . 99= 01...... . 99 = 99...... 
 c) 6666 =(65)133.6 = ( 76...... )133 . 6= 76...... . 6 = 56...... 
 d) 14101. 16101 = (14. 16)101 = 224101 = (2242)50. 224 = ( 76...... )50 . 224 = 
76...... . 224 = 24...... 
11 
 Từ bài toán 2, cho học sinh làm bài toán tổng quát: 
 Bài tập 3: Tìm hai chữ số tận cùng của: 
 a) 512k; 512k+1 (k N*) 
 b) 992n; 992n+1; 
999999 ; (n N*) 
 c) 65n; 65n+1; 
66666 ; (n N*) 
 Gợi ý: 
 a) 512k = (512)k = ( 01...... )k 
 512k+1 = 51. (512)k = 51. ( 01...... )k 
 b) 992n = (992)n = ( 01...... )n 
 992n+1 = 99. (992)n = 99. ( 01...... )n 
999999 , ta có 9999 là một số lẻ => 
999999 có dạng 992n+1 (Với n N, n > 1) 
 => 
999999 = 99.(992)n = 99 . ( 01...... )n (Với n N, n > 1 
 c) 65n = ( 65)n = ( 76...... )n 
 65n+1 = 6 . ( 65)n = 6. ( 76...... )n 
66666 , ta có 6666 là một số có tận cùng là 6 => 
66666 có dạng 65n+1 (n N, n > 1) 
 => 
66666 = 6 . ( 76...... )n 
 2.3. Tìm 3 chữ số tận cùng trở lên. 
 *Phương pháp: Chú ý một số điểm sau. 
 +) Các số có tận cùng 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận 
cùng bằng chính số đó. 
 +) Số có tận cùng 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cũng có tận cùng bằng 
0625. 
 Bài tập 1. Tìm 3 chữ số tận cùng, 4 chữ số tận cùng của 52000. 
 Học sinh có thể làm phần này không mấy khó khăn nhờ kĩ năng đã có từ các 
phần trước. 
 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 
 Vậy : 52000 có ba chữ số tận cùng là 625. 
 có bốn chữ số tận cùng là 0625. 
 Bài tập 2: Tìm ba chữ số tận cùng của: 
 a) 23n . 47n (n N*) 
 b) 23n+3 . 47n+2 (n N) 
12 
 Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài 
này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất 
khó. Đối với học sinh khá, giỏi cũng cần tới sự gợi ý của giáo viên. 
 a) 23n . 47n = (23)n . 47n = (8 . 47)n = 376n 
 376n có tận cùng là 376 => 23n . 47n có tận cùng là 376. 
 b) 23n+3 . 47n+2. 
 Dù đã làm được câu a, đến câu b học sinh cũng không tránh khỏi lúng 
túng ở số mũ. Giáo viên có thể hướng dẫn: 
 23n+3 . 47n+2 = 23(n+1) . 47n+1 . 47 
 = (23)(n+1) . 47n+1 . 47 
 = (8.47)n+1 . 47 
 = 47 . 376n+1 
 Ta có: 376n+1 có các chữ số tận cùng là 376 => 47 . 376n+1 có chữ số 
tận cùng là 672 
 Bài tập3: Chứng tỏ rằng: 
 a. 
n45 + 375  1000 ( n N, n ≥ 1) 
 b. 
n25 - 25  100 ( n N, n ≥ 2) 
 c. 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng bằng 002 
 Nếu học sinh làm tốt các phần trước thì khi gặp bài này sẽ không gặp nhiều 
khó khăn, tuy nhiên, rất cần đến sự tư duy logic, liên hệ đến kiến thức liên quan 
và kĩ năng biến đổi. 
 a. Ta có: 
n45 = 
14.45
n
 = 
14625
n
 tận cùng là 625 ( n N, n ≥ 1) 
 => 
n45 + 375 có tận cùng 000. 
 Vậy: 
n45 + 375  1000 
 b. Ta có 
n25 = 
22 2.25
n
=  
2245
n
= 
22625
n
 ( n N, n ≥ 2) 
 Vậy 
n25 - 25 có 2 chữ số tận cùng là 00. 
 Do đó : 
n25 - 25  100 
 c. 2001n + 23n . 47n + 252n 
 Ta thấy : 2001n có tận cùng là 001 
 23n. 47n = (8 . 47 )n = 376n có tận cùng là 376 
 252n = (252)n = 625n có tận cùng là 625 
 Vậy: 2001n + 23n . 47n + 252n có tận cùng là 002. 
 Dạng 3: So sánh hai lũy thừa 
13 
 * Phương pháp: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi về hai lũy 
thừa có cùng cơ số hoặc có cùng số mũ (có thể sử dụng các lũy thừa trung gian 
để so sánh) 
 +) Lưu ý một số tính chất sau : 
 Với a, b, m, n N , ta có: a > b  an > bn  n N* 
 m > n  am > an (a > 1) 
 a = 0 hoặc a = 1 thì am = an ( m.n  0) 
 Với A, B là các biểu thức ta có: 
 An > Bn  A > B > 0 
 Am > An => m > n và A > 1 
 m < n và 0 < A < 1 
 Bài tập 1: So sánh : 
 a) 33317 và 33323 
 b) 200710 và 200810 
 c) (2008-2007)2009 và (1998 - 1997)1999 
 Với bài này học sinh có thể nhìn ngay ra cách giải vì các lũy thừa đã có cùng 
cơ số hoặc có cùng số mũ. 
 a) Vì 1 < 17 < 23 nên 33317 < 33323 
 b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810 
 c) Ta có : (2008-2007)2009 = 12009 = 1 
 (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1 
 Vậy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999 
 Bài tập 2: So sánh 
 a) 2300 và 3200 e) 9920 và 999910 
 b) 3500 và 7300 f) 111979 và 371320 
 c) 85 và 3.47 g) 1010 và 48.505 
 d) 202303 và 303202 h) 199010 + 1990 9 và 199110 
 Để làm được bài này học sinh cần sử dụng linh hoạt các tính chất của lũy thừa 
để đưa các lũy thừa về cùng cơ số hoặc cùng số mũ. 
 Hướng dẫn : 
 a) Ta có : 2300 = 23)100 = 8100 
 3200 = (32)100 = 9100 
 Vì 8100 2300 < 3200 
 b) Tương tự câu a, ta có : 3500 = (35)100 = 243100 
14 
 7300 = (73)100 = 343100 
 Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300 
 c) Ta có : 85 = 215 = 2.214 85 < 3.47 
 d) Ta có : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = 
(808.101)101 
 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 
 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 
 e) Ta thấy : 992 (992)10 < 999910 hay 
 9920 < 999910 (1) 
 f) Ta có : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (2) 
 371320 = 372)660 = 1369660 
 Từ (1) và (2) suy ra : 111979 < 371320 
 g) Ta có : 1010 = 210. 510 = 2. 29. 510 (*) 
 48. 505 = (3. 24). (25. 510) = 3. 29. 510 (**) 
 Từ (*) và (**) => 1010 < 48. 505 
 h) Có : 199010 + 19909 = 19909. (1990+1) = 1991. 19909 
 199110 = 1991. 19919 
 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110 
 Bài tập 3. Chứng tỏ rằng : 527 < 263 < 528 
 Với bài nà , học sinh lớp 6 sẽ không định hướng được cách làm , giáo viên 
có thể gợi ý: hãy chứng tỏ 263> 527 và 263 < 528 
 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 
 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) 
 Lại có : 263 = (29)7 = 5127 
 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2) 
 Từ (1) và (2) => 527 < 263 < 52 
 Bài tập 4 . So sánh : 
 a) 10750 và 7375 b) 291 và 535 
 Nếu ở bài trước có thể so sánh trực tiếp các lũy thừa cần so sánh hoặc chỉ sử 
dụng một lũy thừa trung gian thì bài này nếu chỉ áp dụng cách đó thì khó tìm ra 
lời giải cho bài toán.Với bài này ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian: 
 a) Ta thấy : 10750 < 10850 = (4. 27)50 = 2100. 3150 (1) 
 7375 > 7275 = (8. 9)75 = 2225. 3150 (2) 
 Từ (1) và (2) => 10750 < 2100. 3150 < 2225. 3150 < 7375 
15 
 Vậy 10750 < 7375 
 b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 
 535 < 536 = (52)18 = 2518 
 => 291 > 3218 > 2518 > 535 
 Vậy 291 > 535 
 Bài tập 5. So sánh: 
 a) (-32)9 và (-16)13 b) (-5)30 và (-3)50 
 c) (-32)9 và (-18)13 d) (
16
1
)100 và (
2
1
)500 
 Hướng dẫn: Đưa về so sánh hai lũy thừa tự nhiên 
 a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 
 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52 
 Vì 245 - 252 
 Vậy (-32)9 > (-16)13 
 b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 
 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 
 Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50 
 c) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 
 mà 245 < 252 = 1613 < 1813 
 => - 245 > - 1813 = (-18)13 
 Vậy (-32)9 > (-18)13 
 d) Ta có : (
16
1
)100 = 
100
100
16
1
= 
10016
1
 =
4002
1
 còn (
2
1
)500 = 
500
500
2
)1(
= 
5002
1
 Vì 2400 < 2500 nên 
4002
1
 > 
5002
1
 Vậy (
16
1
)100 > (
2
1
)500 
 Bài 6. So sánh A và B biết : A = 
12008
12008
2009
2008


 ; B = 
12008
12008
2008
2007


 Trước khi tìm lời giải bài này giáo viên có thể cung cấp cho học sinh tính 
chất sau: 
 * Với mọi số tự nhiên a , b , c khác 0 , ta chứng minh được: 
 +) Nếu 
b
a
> 1 thì 
cb
ca
b
a


 
16 
 +) Nếu 
b
a
< 1 thì 
cb
ca
b
a


 
 Ap dụng tính chất trên vào bài 6 , ta có : 
 Vì A = 
12008
12008
2009
2008


< 1 nên 
 A = 
12008
12008
2009
2008


< 
200712008
200712008
2009
2008


=
20082008
20082008
2009 

=
)12008.(2008
)12008.(2008
2009
2007


 =
12008
12008
2007
2007


=B 
 Vậy A < B . 
 Giáo viên cũng có thể hướng dẫn học sinh giảỉ bài toán theo những cách sau : 
 Cách 1: Ta có : 2008.A = 


12008
2008).12008(
2009
2008
12008
200712008
2009
2009


 =1+
12008
2007
2009 
 2008.B = 


12008
2008).12008
2008
2007
12008
200712008
2008
2008


 =1+
12008
2007
2008 
 Vì 20082009+1 >20082008+1 nên 
12008
2007
2009 
< 
12008
2007
2008 
 => 2008.A < 2008. B 
 => A < B 
 Cách 2: 
A
1
= 
12008
12008
2008
2009


=
12008
200720082008
2008
2009


=
12008
2007)12008.(2008
2008
2008


 = 2008 - 
12008
2007
2008 
B
1
= 
12008
12008
2007
2008


=
12008
200720082008
2007
2008


=
12008
2007)12008.(2008
2007
2007


 = 2008 - 
12008
2007
2007 
 Vì 20082008+1> 20082007 +1 nên 
12008
2007
2008 
< 
12008
2007
2007 
 => 2008 - 
12008
2007
2008 
 > 2008 - 
12008
2007
2007 
 Vậy 
A
1
> 
B
1
 => A 0) 
 Bài 8 . So sánh M và N biết: M = 
1100
1100
99
100


 ; N = 
1100
1100
100
101


 Hướng dẫn: 
17 
 Cách 1 : N = 
1100
1100
100
101


> 1 
 => N =
1100
1100
100
101


>
991100
991100
100
101


=
100100
100100
100
101


=
100).1100(
100).1100(
99
100


= 
1100
1100
99
100


= M 
 Vậy M < N. 
Cách 2: M = 
1100
1100
99
100


= 
1100
99100100
99
100


=
1100
99100).1100(
99
99


= 100 - 
1100
99
99 
 N = 
1100
1100
100
101


= 
1100
99100100
100
101


=
1100
99100).1100(
100
100


= 100 - 
1100
99
100 
 Vì 10099 + 1 < 100100 + 1 nên 
1100
99
99 
 > 
1100
99
100 
 => 100 - 
1100
99
99 
< 100 - 
1100
99
100 
 Vậy M < N. 
 Bây giờ giáo viên có thể cho học sinh làm một số bài tập tương tự sau: 
 1. So sánh: 
 a, 528 và 2614 b, 521 và 12410 c, 3111 và 1714 
 d, 421 và 647 e, 291 và 535 g, 544 và 2112 
 h, 230 + 330 + 430 và 3. 2410 
 2. So sánh: 
 a) 
2
300
1
 và 
3
200
1
 b) 
5
199
1
 và 
3
300
1
 c) 
8
4
1






 và 
5
8
1





 d) 
15
10
1





 và 
20
10
3





 
 3. So sánh: 
 a) A = 
113
113
16
15


 và B = 
113
113
17
16


 b) A = 
11999
11999
1998
1999


 và B = 
11999
11999
1999
2000


 c) A = 
1100
1100
99
100


 và B = 
1100
1100
68
69


 Dạng 4: Tính toán trên các lũy thừa. 
 *Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính về lũy 
thừa để tính cho hợp lí và nhanh. Biết kết hợp hài hòa một số phương pháp trong 
tính toán khi biến đổi. 
18 
 Bài tập 1: Tính giá trị các biểu thức sau với x=7. 
 a) A = 
2710727
2713730
5.25.2
5.25.2


 b) M =  
)5()6()6()5(
4


xxxx
x với x = 7 
 Hướng dẫn: 
 Với bài này, học sinh không nên tính giá trị của từng lũy thừa rồi thực hiện 
các phép tính khác theo thứ tự thực hiện phép tính, mà nếu làm như vậy thì rất 
khó có thể đưa ra đáp án đúng. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm thừa số 
chung và đưa ra ngoài ngoặc ở cả tử và mẫu số, sau đó thực hiện việc rút gọn thì 
việc tìm kết quả của bài toán nhanh đến bất ngờ. 
 a) A = 
2710727
2713730
5.25.2
5.25.2


 = 
)52(5.2
)5.2(5.2
2017710
2017713


 = 23 = 8 
 b) M =  
)5()6()6()5(
4


xxxx
x 
 Học sinh dễ phát hoảng khi nhìn thấy câu b vì số mũ của lũy thừa cứ 
cao dần mà số lại chưa cụ thể. Nhưng khi thay giá trị của x vào thì M lại tìm 
được một cách dễ dàng. 
 M =  
)5()6()6()5(
4


xxxx
x =  
)57()67()67()57(
47

 
 M = 
1213123 = 
123 = 32 = 9 
 Bài tập 2: Chứng tỏ rằng: 
 a) A = 102008 + 125  45 
 b) B = 52008 + 52007 + 52006  31 
 c) M = 88 + 220  17 
 d) H = 3135 . 299 – 3136 . 36  7 
 Với bài toán này, học sinh phải huy động kiến thức về dấu hiệu chia hết, kĩ 
năng và phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: Nếu a  m, a  n, (m;n) = 1 thì am.n
 (a, m, n N*) 
 a) A = 102008 + 125  45 
 Ta có: 102008 + 125 = 0...100 + 125 = 0125...100 
 2008 số 0 2005 số 0 
 A có tận cùng là 5 => A  5 
 Tổng các chữ số của A là: 1+1+2+5 = 9 => A  9. 
 Mà (5;9) = 1 => A  5.9 hay A  45 
 b) B = 52008 + 52007 + 52006  31 
19 
 Ta không thể tính giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép 
chia. Giáo viên có thể gợi ý đặt thừa số chung. 
 B = 52008 + 52007 + 52006 
 B = 52006 .( 52 + 51 + 1) 
 B = 52006 . 31  31 
 c) M = 88 + 220  17 
 Cách làm tương tự như câu b, nhưng trước tiên phải đưa về hai lũy thừa có 
cùng cơ số: 
 M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220 
 M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220 . 17  17 
 d) H = 3135 . 299 – 3136 . 36  7 
 Với câu này, học sinh cũng phải nhận ra cần đặt thừa số chung, nhưng đặt 
thừa số chung nào lại là một vấn đề. Nếu đặt 3135 làm thừa số chung thì buộc 
phải tính kết quả trong ngoặc, và như vậy thì rất lâu và dễ nhầm. Khi đó, giáo 
viên có thể hướng dẫn: 
 H = 3135 . 299 – 3136 . 36 
 H = 3135 . 299 – 3136 - 35. 3136 
 H = 3135 . (299 – 313) - 35. 3136 
 H = 3135 . 14 - 35. 3136 
 H = 7 . (3135 . 2 – 5. 3136 )  7 
 Bài tập 3 . Cho A = 2+ 22 + 23 ++ 260 
 Chứng tỏ rằng: A3 , A7 , A5 
 Với bài này, giáo viên hãy hướng dẫn các em đi nhóm các lũy thừa 
thành từng nhóm 2 / 3 / 4 / .lũy thừa sao cho sau khi đặt thừa số chung ở mỗi 
nhóm thì xuất hiện số cần chứng tỏ A chia hết cho nó. 
 Ví dụ : A = 2+ 22 + 23 ++ 260 
 = (2+22)+(23+24)+(25+26)+.+(257+258)+(259+260) 
 = 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+.+257.(1+2)+259.(1+2) 
 = (1+2).(2+23+25+..+257+259) 
 = 3.( 2+23+25+..+257+259) 
 => A3 
Tương tự, ta có : A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)++(258+259+ 260 ) 
 = 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+.+258.(1+2+22) 
 = (1+2+22).(2+24+27+.+258) 
 = 7.(2+24+27+.+258) 
20 
 => A  7 
 A = (2+ 23)+(22+24)++(257+259)+(258+ 260 ) 
 A = 2(1+22)+22(1+22)++257(1+22)+258(1+22) 
 = (1+22).(2+22+25+26+.+257+258) 
 = 5. (2+22+25+26+.+257+258 
 =>