Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần hình thành, phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua chủ đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

toán sau: 
Bài toán 2: Ông Bình có một mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng 16 m và 
độ dài trục bé bằng 10 m. Ông muốn trồng hoa trên một mảnh đất rộng 8 m và 
nhận trục bé của elip làm trục đối xứng. Biết kinh phí trồng hoa là 100000 đồng/ 1 
m2. Hỏi ông Bình cần bao nhiêu tiền để trồng hoa trên mảnh đất đó (số tiền được 
làm tròn đến hàng nghìn). 
Hướng dẫn giải 
 17 
 Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ. Ta có phương trình đường elip là: 
2 2
1.
64 25
x y
  
Phần đường cong phía trên trục Ox có phương trình là:
2
5 1
64
x
y   
Suy ra diện tích mảnh đất trồng hoa là: 
4 2
4
2 5 1 .
64
x
S dx

  
Sử dụng máy tính cầm tay, ta tính được 2S = 76,5289182 ( 2m ) 
Suy ra số tiền để trên mảnh đất này là: 2S. 100000 = 7652891,82 (đồng). 
Do làm tròn đến hàng nghìn nên số tiền là 7653000 đồng. 
Tương tự, bằng việc thay đổi tên, kích thước và một số giả thiết của bài toán 
thực tiễn trên, ta được bài toán sau: 
Bài toán 3: Ông Tuấn có một khu đất hình elip với độ dài trục lớn 10 m và độ dài 
trục bé 8 m. Ông Tuấn muốn chia khu đất thành hai phần, phần thứ nhất là một 
hình chữ nhật nội tiếp elip dùng để xây bể cá cảnh và phần còn lại dùng để trồng 
hoa. Biết chi phí xây bể cá là 1000000 đồng trên 21m và chi phí trồng hoa là 1200000 
đồng trên 21m . Hỏi ông Tuấn có thể thiết kế xây dựng như trên với tổng chi phí 
thấp nhất là bao nhiêu? 
Hướng dẫn giải 
 Gắn mảnh vườn hình elip của ông An vào hệ trục tọa độ như hình vẽ. Độ dài 
trục lớn 10m và độ dài trục bé bằng 8m nên ta có 5a  và 4b  . 
Phương trình của elip là:  
2 2
: 1
25 16
x y
E   . 
Diện tích của elip là:   20ES ab   . 
Hình chữ nhật ABCD nội tiếp elip. Đặt 2AB x  0 5x 
2
8 1
25
x
AD   . 
Diện tích hình chữ nhật ABCD là: 
2
16 1
25
ABCD
x
S x  . 
 18 
Diện tích phần còn lại trồng hoa là: 
2
20 16 1
25
hoa
x
S x   . 
Tổng chi phí xây dựng là: 
2 2
16000000. 1 1200000. 20 16 1
25 25
x x
T x x
 
     
 
 
2
24000000 3200000 1
25
x
x   . 
Mặt khác ta có: 
2 2
2 1
25 2516000000. 1 16000000. 8000000
5 25 2
x x
x x
 
   . 
2
24000000 3200000 1 24000000 8000000 67398223.69
25
x
T x        . 
Dấu " " xảy ra khi 
2 5 2
1
5 25 2
x x
x    (thỏa mãn). 
Vậy tổng chi phí thiết kế xây dựng thấp nhất gần với số 67398224 . 
Tương tự, bằng việc thay đổi tên, kích thước và một số giả thiết của bài toán 
thực tiễn trên, ta được bài toán sau: 
Bài toán 4: Một mặt bàn hình elip có chiều dài là 120cm , chiều rộng là là 60cm . 
Anh Quân muốn gắn đá hoa cương và dán gạch tranh trên mặt bàn theo hình (phần 
đá hoa cương bên ngoài và điểm nhấn bên trong là bộ tranh gồm 2 miếng gạch với 
kích thước mỗi miếng là 25cm 40cm ). Biết rằng đá hoa cương có giá và bộ tranh 
gạch có giá 300.000 vnđ/bộ. Hỏi số tiền để gắn đá hoa cương và dán gạch tranh 
theo cách trên bằng bao nhiêu? 
Hướng dẫn giải 
Gọi phương trình chính tắc của elip ( )E có dạng
2 2
2 2
1
x y
a b
  
Tương tự, bằng việc thay đổi tên, kích thước và một số giả thiết của bài toán 
thực tiễn trên, ta được bài toán sau: 
Bài toán 5: Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh 1A , 2A , 1B , 2B như 
hình vẽ bên. Biết chi phí sơn phần tô đậm là 200.000 đồng/ 2m và phần còn lại là 
100.000 đồng/ 2m . Hỏi số tiền để sơn theo cách trên là bao nhiêu, biết 1 2 8 mA A  , 
1 2 6 mB B  và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật có 3 mMQ  ? 
 19 
Hướng dẫn giải: 
Giả sử phương trình elip  
2 2
2 2
: 1 
x y
E
a b
. 
Theo giả thiết ta có 1 2
1 2
8 2 8 4
6 2 6 3
    
   
   
A A a a
B B b a
 
2 2
23: 1 16
16 9 4
      
x y
E y x . 
Diện tích của elip  E là   12 ES ab   
2m . 
Ta có: 3MQ 
 
 
 
 
 
M d E
N d E
 với 
3
:
2
d y 
3
2 3;
2
 
  
 
M và 
3
2 3;
2
 
 
 
N . 
Khi đó, diện tích phần không tô màu là 
4
2
2 3
3
4 16 d 4 6 3
4
 
    
 
S x x   
2m . 
Diện tích phần tô màu là   8 6 3    ES S S  . 
Số tiền để sơn theo yêu cầu bài toán là 
   100.000 4 6 3 200.000 8 6 3 7.322.000      T   đồng. 
 Tương tự, bằng việc thay đổi tên, kích thước và một số giả thiết của bài toán 
thực tiễn trên, ta được các bài toán tương tự sau sau: 
Bài toán 6: Bổ dọc một quả dưa hấu ta được thiết diện là hình elip có trục lớn là 
28cm, trục nhỏ 25cm. Biết cứ 1000cm3 dưa hấu sẽ làm được cốc sinh tố giá 20.000 
đ. Hỏi từ quả dưa như trên có thể thu được bao nhiêu tiền từ việc bán nước sinh tố? 
(Biết rằng bề dày của vỏ dưa không đáng kể, kết quả đã được quy tròn) 
Hướng dẫn giải 
 Giả sử thiết diện nằm trên hệ Oxy, tâm O trùng với tâm thiết diện 
1A 2A
1B
2B
M
y
Q
O
N
P
x
4
3
1A 2A
1B
2B
M N
PQ
 20 
Suy ra elip: 
2 2
2 2
1
14 12,5
x y
  . Thể tích quả dưa hấu chính là thể tích vật thể thu được 
khi quay phần gạch chéo quanh trục Ox. 
14 2
2
2
14
8750
12,5 1
14 3
x
V dx



 
    
 
 
Số tiền thu được là: 
8750
20000. 183259 183.000
3.1000

  đ. 
Tương tự, bằng việc thay đổi tên, kích thước và một số giả thiết của bài toán 
thực tiễn trên, ta được các bài toán tương tự sau sau: 
Bài toán 7: Mái vòm của một cái cửa có hình dạng một nửa hình elip. Biết các 
kích thước như hình vẽ bên. Hãy viết phương trình chính tắc của elip này? 
Ảnh nguồn Internet 
Bài toán 8: Khu vực ngoài trời ở phía Nam của Nhà Trắng (Mỹ) được xây dựng 
với hình dáng elip. Hãy xây dựng phương trình chính tắc của elip này với các kích 
thước cho ở hình bên? 
Ảnh nguồn Internet 
Bài toán 9: Một cây cầu được xây dựng với cấu trúc vòm phía dưới là một nửa hình elip. 
Biết chiều cao của câu cầu là 100 ft, chiều dài của cây cầu là 400 ft. Cách điểm chính 
giữa của cầu 50 ft, họ xây một thanh trụ thẳng đứng. Tính chiều dài của thanh trụ này? 
 21 
Bài toán 10: Để tránh phẫu thuật mở khi điều trị sỏi thận, người ta dùng một 
lithotripter hình elip có thể được sử dụng để phá vỡ sỏi. Một máy phát điện tia phát 
ra các sóng xung kích siêu cao tần dưới nước (UHF) từ một điểm tập trung, với 
thận của bệnh nhân được đặt ở vị trí khác. Máy tán sỏi là môt phần của elip với 
trục chính là 26 inch và trục nhỏ là 10 inch. Khoảng cách từ trung tâm của hình 
elip đến nguồn sóng xung kích hoặc viên sỏi là bao nhiêu? (Đặt máy ở hông bệnh 
nhân sao cho khi phát xung đúng tiêu điểm F1 của máy thì xung sẽ phản xạ tới 
đúng ở vị trí sỏi ở tiêu điểm F2 để tán vỡ sỏi). 
 Ảnh nguồn Internet 
Ví dụ 2: Cho học sinh quan sát hình ảnh thực tế sau: 
Hình 2 (Ảnh nguồn Internet) 
Hình 3 (Ảnh nguồn Internet) 
 22 
 Vấn đề là những tri thức hình học tiềm ẩn trong những hình ảnh thực tế đó là 
gì? Có thể dựa trên những tri thức hình học và những hình ảnh thực tế đó để thiết 
kế những bài toán về hiểu biết toán như thế nào? 
Các bước thực hiện cách này như sau: 
+ Bước 1: Giáo viên cần phải phát hiện ra những tri thức hình học tiềm ẩn trong 
những hình ảnh thực tế đó. Muốn vậy cần phải đặt ra những câu hỏi, những vấn đề 
từ việc quan sát các hình ảnh thực tế đó như sau: 
- Hình ảnh thực tế đó là mặt trăng. Vậy học sinh sẻ liên tưởng ngay mặt trăng 
chuyển động quanh trái đất theo quỹ tích là hình gì? 
- Hiện tượng kỳ thú nào đã từng xẩy ra đối với mặt trăng? 
 + Bước 2: Giáo viên cần đặt ra một hệ thống câu hỏi, bài toán phù hợp, sắp xếp 
theo một trình tự lôgic sao cho việc giải quyết bài toán trước có thể gợi mở cho 
việc giải quyết bài toán sau, hỗ trợ học sinh giải quyết vấn đề. 
+ Bước 3: Giáo viên tổ chức cho học sinh thảo luận, học hợp tác, hoặc làm các bài 
tập lớn, tổ chức dạy học theo phương thức Stem, thực hiện dự án Thông qua đó, 
học sinh sẽ thấy được ý nghĩa của những nội dung môn Toán đang được học ở 
trường trung học Phổ thông, thấy được những điều mình học thật lí thú và hấp dẫn. 
 Bây giờ chúng ta bắt đầu thiết kế bài toán từ việc quan sát hình ảnh thực tế từ 
Hình 2 và Hình 3 trên. 
Có nhiều tình huống có thể khai thác từ hình ảnh trên. Chẳng hạn câu hỏi có thể 
được đặt ra như sau: 
Câu 1: Hình ảnh trên là một hiện tượng gì của mặt trăng? 
Câu 2: Mặt trăng và các vệ tinh của Trái Đất chuyển động theo quỹ đạo là các 
đường gì? Tâm Trái Đất là một điểm của nó? 
 Để có câu trả lời, hãy nghiên cứu hệ thống các bài toán liên quan tới cấu trúc 
này, được đặt ra tình huống như sau: 
Tình huống 
Hiện tượng siêu trăng là gì? 
 Được coi là vệ tinh tự nhiên duy nhất của Trái Đất, Mặt Trăng di chuyển 
quanh Trái Đất theo một quỹ đđạo hình oval. Khi Mặt Trăng di chuyển tới vị trí có 
khoảng cách gần với Trái Đất nhất (điểm cận địa), kích thước Mặt Trăng khi nhìn 
từ Trái Đất sẽ lớn hơn. 
 Đặc biệt, khi Mặt Trời, Trái Đất và Mặt Trăng xếp thẳng hàng đúng thời điểm 
Mặt Trăng ở điểm cận địa, Mặt Trăng sẽ sáng và có kích thước lớn hơn nhiều khi 
nhìn từ Trái Đất, đó được gọi là hiện tượng Siêu trăng hoặc Siêu Mặt Trăng 
(Supermoon). So với kích thước của Mặt Trăng tại vị trí có khoảng cách xa nhất 
 23 
với Trái Đất trên quỹ đạo (điểm viễn địa), Mặt Trăng sáng hơn 30% và có kích 
thước lớn hơn 14% khi nhìn từ Trái Đất vào lúc xảy ra hiện tượng Siêu trăng. 
 Mặt trăng và các vệ tinh của Trái Đất chuyển động theo quỹ đạo là các đường 
elip mà tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Điểm gần Trái Đất nhất trên quỹ đạo gọi là 
điểm cận địa (Perigee), điểm xa trái đất nhất trên quỹ đạo gọi là điểm viễn địa 
(Apogee) 
 Từ đó ta có các tình huống sau: 
a) Hãy xác định vị trí của điểm viễn địa và điểm cận địa trên quỹ đạo của Mặt 
Trăng. Biết khoảng cách từ điểm viễn địa và điểm cận địa trên quỹ đạo của một vệ 
tinh đến tâm trái đất theo thứ tự là m và n . Tâm sai của quỹ đạo này bằng bao 
nhiêu? 
b) Biết độ dài trục lớn và độ dài trục bé của quỹ đạo mặt trăng là 768806 km và 
 767746 km . Tính khoảng cách lớn nhất và khoảng cách bé nhất giữa tâm trái đất và 
tâm của mặt trăng? 
 Chúng ta bắt đầu định hướng phương pháp góp phần hình thành và phát triển 
năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo thông qua giải quyết tình huống thực tiễn 
trên: 
 Bước 1: Giúp học sinh nhận biết, phát hiện được vấn đề cần giải quyết bằng 
toán học: 
 - Xác định được tình huống có vấn đề: Hãy xác định vị trí của điểm viễn địa và 
điểm cận địa trên quỹ đạo của Mặt Trăng? Tâm sai của quỹ đạo này bằng bao 
nhiêu? Tính khoảng cách lớn nhất và khoảng cách bé nhất giữa tâm trái đất và tâm 
của mặt trăng? 
 - Thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá được độ tin cậy của thông tin: Từ 
tình huống trên, ta sắp xếp lại thông tin như hình vẽ: 
Điểm cận 
địa 
(Perigee) 
Điểm viễn địa 
(Apogee) 
Trái Đất 
Vệ tinh 
 24 
 - Chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác: Giúp học sinh hình thành nên tư 
duy làm việc nhóm, tiếp thu kiến thức thông qua phương tiện Internet và tìm hiểu 
thực tế. 
Bước 2: Lựa chọn, đề xuất được cách thức, giải pháp giải quyết vấn đề (Lựa chọn 
và thiết lập được cách thức, quy trình giải quyết vấn đề). 
- Giúp học sinh đề xuất được bài toán chứa tình huống thực tiễn tương ứng như 
sau: 
 Mặt trăng và các vệ tinh của Trái Đất chuyển động theo quỹ đạo là các đường 
elip mà tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Điểm gần Trái Đất nhất trên quỹ đạo gọi là 
điểm cận địa (Perigee), điểm xa trái đất nhất trên quỹ đạo gọi là điểm viễn địa 
(Apogee) 
a) Hãy xác định vị trí của điểm viễn địa và điểm cận địa trên quỹ đạo của Mặt 
Trăng. Biết khoảng cách từ điểm viễn địa và điểm cận địa trên quỹ đạo của một vệ 
tinh đến tâm trái đất theo thứ tự là m và n . Tâm sai của quỹ đạo này bằng bao 
nhiêu? 
b)Biết độ dài trục lớn và độ dài trục bé của quỹ đạo mặt trăng là 768806 km và 
 767746 km . Tính khoảng cách lớn nhất và khoảng cách bé nhất giữa tâm trái đất và 
tâm của mặt trăng? 
- Học sinh thiết lập và xây dựng hệ trục toạ độ cho phương trình chính tắc của 
đường elip. Từ đó nhớ lại công thức bán kính qua tiêu elip, biết được cách xác định 
vị trí điểm trên đường elip cách tiêu điểm một đoạn ngắn nhất và dài nhất. Từ đó 
tính toán được các thông số quan trọng của elip khi biết một số yếu tố. 
 Bước 3: Sử dụng được các kiến thức, kĩ năng toán học tương thích (bao gồm các 
công cụ và thuật toán) để giải quyết vấn đề đặt ra (Thực hiện và trình bày được giải 
pháp giải quyết vấn đề). 
a)Theo công thức bán kính qua tiêu, ta có: 
2
cx
MF a
a
= - , 
vì a x a- £ £ nên 
2 2
ca ca
a MF a a c MF a c
a a
- £ £ + Û - £ £ + . 
Suy ra: Vị trí điểm cận địa và điểm viễn địa chính là hai đỉnh trên trục lớn 
của elip 
Khi đó: m a c= + , n a c= -
( ) ( ) 2
2
a c a cm n c
e
m n a c a c a
+ - --
Þ = = =
+ + + -
. 
b)Theo đề ra, ta có: 2 768806 384403a a= Û = , 2 767746 383873b b= Û = ; 
Mà: 2 2 20179c a b= - » . 
Vậy khoảng cách lớn nhất từ tâm Trái Đất tới tâm Mặt Trăng là: 
 404582 ( )a c km+ » và khoảng cách bé nhất là: 364224 ( )a c km- » . 
 25 
 Bước 4: Đánh giá được giải pháp đề ra và khái quát hoá được cho vấn đề tương tự 
(Đánh giá được giải pháp đã thực hiện; phản ánh được giá trị của giải pháp; khái 
quát hoá được cho vấn đề tương tự). 
Phần này giáo viên có thể mời đại diện nhóm trình bày lời giải mà nhóm đã 
thảo luận và thống nhất. 
Học sinh báo cáo và thảo luâṇ: Gọi học sinh nhận xét câu trả lời của các 
nhóm sau đó. 
Kết luâṇ: Giáo viên chính xác hoá lời giải và đưa ra bình luận. 
Từ đó, đánh giá được giải pháp đề ra là hoàn toàn chính xác, khả thi. 
 Từ đây, giáo viên có thể định hướng cho học sinh khái quát hóa cho các vấn 
đề tương tự: Bằng cách cho 2 hành tinh bất kỳ với số liệu tổng quát. 
Mở rộng vấn đề: (Giáo viên đặt câu hỏi cho nhóm) Hãy giải thích một số hiện 
tượng thiên văn liên quan đến mặt trăng sau: Trăng tròn (Full Moon), Trăng rằm 
Trung thu (Harvest Moon), Trăng non (New Moon), Nhật thực (Solar Eclipse), 
Nguyệt thực (Lunar Eclipse), Trăng máu (Blood Moon). 
Nhận xét qua các bước thực hiện trên: Học sinh biết thiết lập và xây dựng hệ 
trục toạ độ cho phương trình chính tắc của đường elip. Từ đó biết được cách xác 
định vị trí điểm trên đường elip cách tiêu điểm một đoạn ngắn nhất và dài nhất. 
Giúp học sinh phát hiện, hiểu và giải thích được một số hiện tượng kì thú trong 
thiên văn học và hình thành nên tư duy nghiên cứu khoa học, làm việc nhóm, tìm 
hiểu kiến thức thông qua phương pháp tự tra cứu qua sách, báo, Internet 
1.2. Biện pháp 2: Khai thác, thiết kế và tổ chức hoạt động phát hiện bài toán 
mới từ bài toán cơ bản 
1.2.1. Mục đích của biện pháp 
 Biện pháp này giúp giáo viên khai thác, xây dựng được những bài toán hoặc 
những tình huống để học sinh khám phá những tri thức toán học dựa trên bài cơ 
bản đã có giúp học sinh được học tập và rèn luyện các cách tiếp cận một bài toán 
theo hướng khai thác và phát hiện các hướng để tạo ra bài toán mới (kể cả bài toán 
chứa tình huống thực tiễn). Từ đó giúp các em giải quyết một cách sáng tạo những 
bài toán mới. 
1.2.2. Căn cứ của biện pháp 
 Có 5 con đường đi đến bài toán mới từ bài toán ban đầu đã biết trong sách giáo 
khoa của tác giả Tôn Thân. Đó là: Lập bài toán tương tự với bài toán ban đầu; lập 
bài toán đảo của bài toán ban đầu; thêm vào bài toán ban đầu một số yếu tố, đặc 
biệt hóa bài toán ban đầu; bớt đi một số yếu tố của bài toán ban đầu, khái quát hóa 
bài toán ban đầu; thay đổi một số yếu tố của bài toán ban đầu. Tuy nhiên, chương 
trình toán ở trung học phổ thông có đưa thêm 2 công cụ để nghiên cứu toán học so 
với chương trình ở trường trung học cơ sở, đó là phương pháp véc tơ và phương 
pháp tọa độ, nên ngoài 5 con đường nói trên, ta có thể đề xuất thêm một cách sáng 
tạo bài toán mới, đó là: Chuyển đổi ngôn ngữ. 
1.2.3. Cách thực hiện biện pháp 
Chúng ta bắt đầu với bài toán cơ bản sau: 
 26 
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách từ M(2;-1) đến đường 
thẳng cố định d: 6x+y-1=0. 
Từ ví dụ đơn giản này, ta có thể có một số định hướng xây dựng hệ thống bài tập 
trong mặt phẳng toạ độ như sau: 
Định hướng 1: Giữ điểm M cố định, thay giả thiết đường thẳng d cố định thành 
đường thẳng d thay đổi ta có bài toán mới: 
Bài toán 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x+(m-1)y+2m=0 và 
điểm M(2;-1). Tìm m để khoảng cách từ M đến đường thẳng d là lớn nhất. Tìm giá 
trị lớn nhất đó. 
Bài toán này có thể giải theo nhiều cách, chẳng hạn sử dụng công thức khoảng 
cách. Từ đó khảo sát hàm số theo m để tìm giá trị lớn nhất của nó. Tuy nhiên việc 
làm này không đơn giản vì hàm số này có cấu trúc phức tạp gồm cả căn và trị tuyệt 
đối. Vì vậy cần phải phát hiện được: Bài toán ẩn đi yếu tố đường thẳng d thay đổi 
nhưng luôn đi qua điểm cố định là I(-2;-2). Nên ta có thể giải theo cách nhìn hình 
học như sau: 
d
M
HI
Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống d. Ta có MH MI dấu bằng xảy 
ra khi H trùng I. Khi đó khoảng cách từ M đến d là lớn nhất và d chính là đường 
thẳng vuông góc với MI nên d
5
MI.u 0 4(m 1) 1 0 m
4
        
(Với 
d
u (m 1; 1)   là vectơ chỉ phương của d). Khoảng cách lớn nhất là 
MI= 17 . 
Định hướng 2: Xây dựng bài toán mới bằng tư duy thuận nghịch bài toán cơ bản 
trên ta có các bài toán mới sau: 
Bài toán 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2;-1) và điểm I(-2;-2). Viết 
phương trình đường thẳng d đi qua I sao cho: 
a) Khoảng cách từ M đến đường thẳng d là lớn nhất. 
 27 
b) Khoảng cách từ M đến đường thẳng d là nhỏ nhất. 
Hướng dẫn giải: a) Giải như Bài toán 1. 
b) Khoảng cách từ M đến đường thẳng d nhỏ nhất khi d là đường thẳng đi qua MI. 
Định hướng 3: Tiếp tục tăng số điểm cố định lên, ta có bài tập mới sau: 
Bài toán 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(2;-1), N(-1;3) và đường 
thẳng d: 6x+y-1=0. Tìm I thuộc d để IM+IN đạt giá trị nhỏ nhất. 
Đây là dạng bài tập đã quen biết của phần hình học phẳng và hình học véctơ, bây 
giờ được giải bằng phương pháp tọa độ nên ta sẽ dùng kiến thức hình học phẳng để 
lập luận và tìm kiếm lời giải. 
Hướng dẫn giải: Do M, N khác phía so với d nên điểm I thuộc d để IM+IN nhỏ 
nhất chính là giao điểm của đường thẳng MN với đường thẳng d vì IM+IN MN . 
Dấu bằng xảy ra khi I là giao điểm của đường thẳng MN với đường thẳng d. 
d
I
M
N 
Bài toán tổng quát 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(m1;m2), 
N(n1;n2) và đường thẳng d: ax+by+c=0 ( M và N không thuộc d và nằm khác phía 
với đường thẳng d). Tìm I thuộc d để IM+IN đạt giá trị nhỏ nhất. 
Nhận xét: Nếu M, N cùng phía so với d, ta có bài toán quen thuộc sau: 
Bài toán 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(2;-1), N(1;3) và đường 
thẳng d: 6x+y-1=0. Tìm I thuộc d để IM+IN đạt giá trị nhỏ nhất. 
Tương tự, đây là dạng bài tập đã quen biết của phần hình học phẳng và hình học 
véctơ, bây giờ được giải bằng phương pháp tọa độ nên ta sẽ dùng kiến thức hình 
học phẳng để lập luận và tìm kiếm lời giải. 
Hướng dẫn giải: Ta chuyển bài toán cùng phía về bài toán khác phía nhờ cách 
lấy đối xứng M qua d được điểm M’. Khi đó IM+IN=IM’+IN M'N . Dấu bằng 
xảy ra khi I chính là giao điểm của M’N với d. 
d
I
M
N
M'
 28 
Bài toán tổng quát 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định 
M(m1;m2), N(n1;n2) và đường thẳng d: ax+by+c=0 ( M và N không thuộc d và nằm 
cùng phía với đường thẳng d). Tìm I thuộc d để IM+IN đạt giá trị nhỏ nhất. 
Nhận xét: Nếu thay IM+IN bởi IM IN thì ta có bài toán tổng quát quen thuộc 
sau: 
 Bài toán tổng quát 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm cố định 
M(m1;m2), N(n1;n2) và đường thẳng d: ax+by+c=0 ( M và N không thuộc d và nằm 
cùng phía với đường thẳng d). Tìm I thuộc d để IM IN lớn nhất. 
Hướng dẫn giải: Theo bất đẳng thức tam giác ta luôn có IM IN MN dấu bằng 
xảy ra khi I là giao điểm của đường thẳng MN với d. (Điều này đúng khi M, N 
nằm cùng phía với d. Trường hợp M, N nằm khác phía ta có thể lấy đối xứng điểm 
M qua d được điểm M’ và đưa về trường hợp M, N nằm cùng phía với d ). 
Nhận xét: Tiếp tục khai thác Bài toán tổng quát 2: Thay hai điểm M, N bởi hai điểm 
A, B, đường thẳng d bởi D ta